Norma e Ortogonalização

por **Jhonata** » Qui Jul 18, 2013 19:12

Não estou conseguindo resolver este exercício:

Considere os vetores: {(1,1,2),(2,-1,4),(2,4,4)}. Encontre um vetor norma 1 ortogonal aos 3 vetores dados e então, determine módulo da soma de suas entradas.

Gabarito: $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Por favor, se alguém puder me ajudar, mesmo que uma sugestão, ficarei grato.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 19:20

Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é igual a zero.

Chame o vetor que você quer descobrir de (x,y,z), depois escreva o produto escalar deste vetor por cada um dos outros vetores e iguale cada um desses produtos a zero.
Tu vais ter um sistema de três variáveis e três equações.

Resolva o sistema e depois é só aplicar a restrição da norma ser igual a 1.

Abraço!

por **Jhonata** » Qui Jul 18, 2013 19:39

MateusL escreveu:Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é igual a zero.

Chame o vetor que você quer descobrir de (x,y,z), depois escreva o produto escalar deste vetor por cada um dos outros vetores e iguale cada um desses produtos a zero.
Tu vais ter um sistema de três variáveis e três equações.

Resolva o sistema e depois é só aplicar a restrição da norma ser igual a 1.

Abraço!

Obrigado, vou tentar aqui.

Um grande abraço!

por **Jhonata** » Qui Jul 18, 2013 20:14

Certo, encontrei o sistema:

x+y+2z = 0

Tentando resolver isso, encontro um sistema com infinitas soluções, e então?

Obrigado.
Att.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 20:20

Isso aí!
Agora escolha uma variável qualquer e escreva as outras duas em função dela.

Por exemplo, vamos supor que tu escrevas x e y em função de z.

Depois faça $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$ (porque no enunciado diz que a norma é igual a 1), substituindo x e y pela escrita deles em função de

.

Resolvendo isso, irás encontrar um valor para

(talvez dois valores) e, consequentemente, encontrarás valores para

e

.

por **Jhonata** » Qui Jul 18, 2013 20:30

Ainda acho que estou fazendo algo errado.
Escalonei a matriz associada ao sistema anterior e obtive que:
y = 0, x=-2z, tomando z = t, então x = -2t.
Então, uma base para esse conjunto ortonormal seria (-2,0,1) (tomando t =1).

Como a norma é 1, as coordenadas desse vetor não batem.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 20:37

Quase isso.

Encontrastes $x=-2z,\ y=0$ e

pode tomar qualquer valor.

Então as soluções do sistema (os vetores) são da forma (-2z,0,z)

.

Queres encontrar o módulo da soma das entradas, que será |x+y+z|=|-2z+0+z|=|-z|=|z|

Sabendo que a norma do vetor deve ser igual a

, podes escrever que:

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$
$\sqrt{(-2z)^2+0^2+z^2}=1$
$\sqrt{4z^2+z^2}=1$
$5z^2=1\implies z=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Como sabes que o módulo da soma das entradas vai ser igual a |z|

, esta soma será igual a $\left|\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

por **Jhonata** » Qui Jul 18, 2013 20:41

Ahhh! Nem imaginava que eu deveria, no fim, encontrar a coordenada Z.

Aparentemente estranho, mas faz muito sentido.

Muito obrigado cara! Pela dedicação, em primeiro lugar, pela atenção e pela maravilhosa ajuda!

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 20:48

Na verdade, ao resolveres o sistema, encontras a equação paramétrica de uma reta, a qual é ortogonal aos três vetores dados. Depois disso, tens que encontrar para quais valores do parâmetro tu terás um vetor de norma unitária. Encontrarás dois valores para o parâmetro, porque existem, sobre essa reta, dois vetores que satisfazem as condições.

De nada cara!

Abração!