Limite com Módulo

por **Man Utd** » Sex Mai 10, 2013 10:45

Calcule: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x}$

gabarito:-4

eu não entendi a questão,já resolvi vários limites, mas com somente um módulo,alguém pode me dar uma dica?

por **e8group** » Sex Mai 10, 2013 11:36

Bom dia .Basta utilizar a definição de módulo ,conhece ela ? Se não ,suponhamos que temos o seguinte módulo : |f(x)|

,onde

é uma função elementar .Por definição de módulo , segue-se que $|f(x)| = \begin{cases} f(x) ; f(x) \geq 0 \\ -f(x) < 0 ; f(x) < 0 \end{cases}$ .

No exercício postado tente analisar o sinal de 2x-1

e

para

em uma vizinhança do número zero .Se nesta vizinhança ,tem-se 2x-1 < 0

,segue da definição que |2x-1| = - (2x-1) > 0

.De forma análoga podemos estudar o outro módulo .Tente concluir .

por **Man Utd** » Sex Mai 10, 2013 12:00

olá eu não entendi bem qual usar:

$|2x-1|=\begin{cases}2x-1,2x-1\geq 0 \\ -(2x-1), 2x-1<0 \end{cases}$

$|2x+1|=\begin{cases}2x+1,2x+1\geq 0 \\ -(2x+1), 2x+1<0 \end{cases}$

eu ñ sei qual usar,ñ teria q fazer o limite pela direita e pela esquerda?

por **e8group** » Sex Mai 10, 2013 12:27

Basta observar se o número 2x-1

é negativo ou positivo para

em

suficiente pequeno . Da mesma forma façamos a mesma análise para 2x+1

.

Claramente $2x-1 < 0 , \forall x \in(-r,r)$ e $2x+1 > 0 , \forall x \in(-r,r)$ .

Assim ,neste contexto : |2x-1| - |2x+1| = - (2x-1) - (2x+1)

.

Estou sem tempo agora .A noite posso postar mais dicas se necessário ..

por **Man Utd** » Sex Mai 10, 2013 23:46

santhiago obrigado pela paciência,mas eu não compreendo o porquê desse procedimento,já calculei limites com um só módulo,mas é diferente.

por **e8group** » Sáb Mai 11, 2013 01:40

Vamos tentar novamente . Tome f (x) =|2x-1| - |2x+1|

.

Observe que por definição de módulo :

$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1 ; x \in A_1 =[1/2,+\infty) \\ -(2x-1); x\in A_2 =(-\infty,1/2) \end{cases}$

e

$|2x+1| = \begin{cases} 2x+1 ; x \in B_1 =[-1/2,+\infty) \\ -(2x+1); x\in B_2=(-\infty,-1/2) \end{cases}$

Considere os 4 casos :

1) $2x-1\geq 0$ e $2x+1 \geq 0$

2) 2x-1 < 0

e

3)

e $2x+1 \geq 0$

4) $2x-1 \geq 0$ e 2x+1 < 0

No primeiro caso , tem-se necessariamente $x\in A_1 \wedge x\in B_1 \iff x \in A_1 \cap B_1 \iff x \in A_1 = [1/2,+\infty)$ ,no segundo , $x \in A_2 \wedge x \in B_2 \iff x\in A_2\cap B_2 \iff x \in B_2 =(-\infty,-1/2)$ ; terceiro ,segue $x\in A_2 \wedge x\in B_1 \iff x\in A_2 \cap B_1 \iff x \in [-1/2,1/2)$ e no último caso , a interseção é vazia .

Assim , $f(x) = \begin{cases}2x-1 - (2x+1) = -2 ; x\in [1/2,+\infty) \\ -(2x-1) + (2x+1) = 2 ; x \in (-\infty,-1/2) \\ -(2x-1) -(2x+1) = -4x ; x \in [-1/2,1/2) \end{cases}$ .

Tudo isto é desnecessário para calcular o limite,entretanto como vc estar com dificuldades com soma de módulos(se é assim que podemos dizer ) .Caso teríamos, $f(x) = |f_1(x)| + \hdots + |f_n(x) |$ .Por definição de módulo , por exemplo se $f_i(x) \geq 0$ para todo $x \in A_i (i=1,\hdots,n )$ .Poderíamos definir ,

$f(x) = f_1(x) + \hdots + f_n(x) ; x \in A_1 \cap \hdots A_n = \bigcap_{i=1}^n A_i$

Dica : Estude mais sobre módulos e operações com funções se for necessário .

Comente as dúvidas .