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Limite com Módulo

Limite com Módulo

Mensagempor Man Utd » Sex Mai 10, 2013 10:45

Calcule:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x}

gabarito:-4

eu não entendi a questão,já resolvi vários limites, mas com somente um módulo,alguém pode me dar uma dica?
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Re: Limite com Módulo

Mensagempor e8group » Sex Mai 10, 2013 11:36

Bom dia .Basta utilizar a definição de módulo ,conhece ela ? Se não ,suponhamos que temos o seguinte módulo : |f(x)| ,onde f é uma função elementar .Por definição de módulo , segue-se que |f(x)| = \begin{cases} f(x) ;  f(x) \geq 0 \\ -f(x) < 0  ;  f(x) < 0  \end{cases} .

No exercício postado tente analisar o sinal de 2x-1 e 2x+1 para x em uma vizinhança do número zero .Se nesta vizinhança ,tem-se 2x-1 < 0 ,segue da definição que |2x-1|  =  - (2x-1) > 0 .De forma análoga podemos estudar o outro módulo .Tente concluir .
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Re: Limite com Módulo

Mensagempor Man Utd » Sex Mai 10, 2013 12:00

olá eu não entendi bem qual usar:

|2x-1|=\begin{cases}2x-1,2x-1\geq 0 \\ -(2x-1), 2x-1<0 \end{cases}

|2x+1|=\begin{cases}2x+1,2x+1\geq 0 \\ -(2x+1), 2x+1<0 \end{cases}

eu ñ sei qual usar,ñ teria q fazer o limite pela direita e pela esquerda?
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Re: Limite com Módulo

Mensagempor e8group » Sex Mai 10, 2013 12:27

Basta observar se o número 2x-1 é negativo ou positivo para x em (-r,r) [tex] com [tex] r > 0 suficiente pequeno . Da mesma forma façamos a mesma análise para 2x+1 .

Claramente 2x-1 < 0 , \forall x \in(-r,r) e 2x+1 > 0 ,  \forall x \in(-r,r) .

Assim ,neste contexto : |2x-1| - |2x+1|  =  - (2x-1) - (2x+1) .

Estou sem tempo agora .A noite posso postar mais dicas se necessário ..
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Re: Limite com Módulo

Mensagempor Man Utd » Sex Mai 10, 2013 23:46

santhiago obrigado pela paciência,mas eu não compreendo o porquê desse procedimento,já calculei limites com um só módulo,mas é diferente.
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Re: Limite com Módulo

Mensagempor e8group » Sáb Mai 11, 2013 01:40

Vamos tentar novamente . Tome f (x) =|2x-1| - |2x+1| .

Observe que por definição de módulo :

|2x-1| = \begin{cases} 2x-1  ;   x \in   A_1 =[1/2,+\infty) \\ -(2x-1); x\in A_2 =(-\infty,1/2) \end{cases}

e

|2x+1| = \begin{cases} 2x+1  ;   x \in B_1 =[-1/2,+\infty) \\ -(2x+1); x\in B_2=(-\infty,-1/2) \end{cases}

Considere os 4 casos :

1) 2x-1\geq 0 e 2x+1 \geq 0

2) 2x-1 < 0 e 2x+1 < 0

3) 2x-1 < 0 e 2x+1 \geq 0

4) 2x-1 \geq 0 e 2x+1 < 0

No primeiro caso , tem-se necessariamentex\in A_1 \wedge  x\in B_1  \iff  x \in A_1 \cap B_1 \iff x \in A_1 = [1/2,+\infty) ,no segundo , x \in A_2 \wedge x \in B_2  \iff x\in A_2\cap B_2  \iff x \in B_2 =(-\infty,-1/2) ; terceiro ,segue x\in A_2 \wedge x\in B_1 \iff x\in A_2 \cap  B_1 \iff x \in [-1/2,1/2) e no último caso , a interseção é vazia .

Assim , f(x) = \begin{cases}2x-1 - (2x+1) = -2  ;  x\in [1/2,+\infty) \\  -(2x-1) + (2x+1) = 2 ;  x \in (-\infty,-1/2)  \\ -(2x-1) -(2x+1) = -4x ;  x \in [-1/2,1/2) \end{cases} .

Tudo isto é desnecessário para calcular o limite,entretanto como vc estar com dificuldades com soma de módulos(se é assim que podemos dizer ) .Caso teríamos, f(x) =  |f_1(x)| + \hdots + |f_n(x) | .Por definição de módulo , por exemplo se f_i(x) \geq 0 para todo x \in A_i   (i=1,\hdots,n ) .Poderíamos definir ,

f(x) = f_1(x) + \hdots +  f_n(x)   ;  x \in A_1 \cap \hdots A_n = \bigcap_{i=1}^n A_i

Dica : Estude mais sobre módulos e operações com funções se for necessário .

Comente as dúvidas .
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Re: Limite com Módulo

Mensagempor Man Utd » Sáb Mai 11, 2013 14:29

Muito obrigado pela paciência Santhiago,agora finalmente conseguir entender. :)
vou dar uma revisada em módulo.Bom final de semana. :)
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D