[Limites] Qual a diferença entre limite que não existe e...

por **morena** » Sex Mar 22, 2013 08:22

Qual a diferença entre um limite que não existe e um limite que vai para mais ou menos infinito???

Por exemplo: fazendo o desenvolvimento desse limite $\lim_{x-> 0-}\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\left|x \right|}\right)$ (I)

** obs: x tende a zero pela esquerda

cheguei em $\lim_{x-> 0-}\left(\frac{2}{x} \right)$ (II)

daí, imaginei que a resposta seria MENOS INFINITO.

Porém, no livro, diz que esse limite não existe.

Fui checar no site "wolframalpha" e a resposta dá MENOS INFINITO.

Enfim, qual a diferença em um limite não existir e um limite que resulta em mais ou menos infinito?? São coisas sinônimas??? Caso sejam coisas diferentes, como saber quando vai ocorrer um ou outro ??

Estou ligada que um limite não existe quando os limites laterais são diferentes, por exemplo,o limite de (II) citado acima ,quando x tende a zero (desconsiderando

então o sinal que indica o limite lateral) , não existe pois os limites laterais são diferentes (um tende a menos infinito e o outro a mais infinito de acordo com o

site "wolframalpha")... Ah, para quem for me responder, calcule o outro limite lateral da equação (I) para ajudar no meu entendimento, por gentileza ^^

Aguardando a explicação ^^ bj!!

por **nakagumahissao** » Sex Mar 22, 2013 15:56

morena,

Creio que está havendo uma confusão. O limite tender ao infinito quando se aproxima pela esquerda (-) é o valor do limite. No entanto, para se concluir se existe ou não o limite naquele ponto, é necessário satisfazer 3 condições primordiais.

1) O f(x) naquele ponto x deve existir
2) O Limite de f(x) tendendo para aquele ponto deverá existir. Isso significa que os limites laterais (tendendo para a esquerda e tendendo para a direita) deverão ter VALORES iguais e existir.
3) O valor do limite em 2 deverá ser igual ao valor de f(x) em 1.

Assim no caso de 2/x, o limite tendendo da esquerda dá menos infinito e o limite tendendo pela direita dá 'mais' infinito. Os limites são diferentes (tem valores diferentes) e portanto violam o teorema da existência desse limite cuja regra é o 2 acima. Assim, o Limite não existe!

Portanto, tender ao infinito ou o contrário não tem nada a ver com a existência ou não do limite.

Espero ter sanado sua dúvida!

por **nakagumahissao** » Sex Mar 22, 2013 16:13

$\lim_{x\rightarrow 2}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\left|x \right|} \right)$

Este limite acima precisa ser dividido em duas partes por causa do módulo, quais sejam:

$\frac {1}{x} - \frac{1}{x}, x \geq 0 \Rightarrow 0, x \geq 0$

e

$\frac {1}{x} + \frac{1}{x}, x < 0 \Rightarrow \frac{2}{x}, \;\; x < 0$

Resolvendo o primeiro deles:

O primeiro deles é valido para todos os valores de x que são maiores ou iguais a zero. Assim sendo, estamos interessados no limite tendendo da direita para zero.

$\lim_{x\rightarrow {0}^{+}} 0 = 0$

O Segundo, já vimos nos e-mails anteriores que é menos infinito:

$\lim_{x\rightarrow {0}^{-}} \frac{2}{x} = -\infty$

Como os dois limites são diferentes, pela regra 2 da existência de um limite, tem-se que este limite não existe.

por **Russman** » Sex Mar 22, 2013 21:49

A confusão de todos os estudantes é confundir o limite com os limites laterais. O limite, ou limite bilareral como é , por alguns autores, chamado, existe se os limites laterais coincidirem.