identidade que resolva o limite de uma função trigonométrica

por **Douglas16** » Sex Mar 15, 2013 12:36

$\lim_{x\rightarrow\propto} x*tan\frac{2}{x}=\lim_{x\rightarrow\propto}\frac{2x*sin\left\frac{1}{x}*cos\left(\frac{1}{x} \right) \right}{}$ $\lim_{x\rightarrow\propto} x*tan\frac{2}{x}=\lim_{x\rightarrow\propto}\frac{2x*sin\left(\frac{1}{x}\right)*cos\frac{1}{x}}{cos\frac{2}{x}}$ $\lim_{x\rightarrow\propto} x*tan\frac{2}{x}=\lim_{x\rightarrow\propto}\frac{2x*sin\left(\frac{1}{x}\right)*cos\frac{1}{x}}{cos\frac{2}{x}}=\lim_{x\rightarrow\propto} \frac{2x*sin\left(\frac{1}{x}\right)*cos\frac{1}{x}}{1-2{sin}^{2}x}$

Beleza, agora eu preciso anular o termo $x*sin\frac{1}{x}$ do numerador, mas para isso eu tenho que expressar $cos\frac{2}{x}$ em função de $x*sin\frac{1}{x}$ .
Existe uma expressão assim para $cos\frac{2}{x}$

por **e8group** » Sex Mar 15, 2013 22:03

Faça a seguinte substituição , t = 2/x

.Assim , quando $x \to \infty , t\to 0$ ;logo ,

$2 \lim_{t\to 0} \frac{1}{t} tan(t) = 2 \lim_{t\to 0} \frac{sin(t)}{t} \cdot \frac{1}{cos(t)}$

De $\lim_{t\to 0} \frac{sin(t)}{t} = 1$ e $\lim_{t\to 0} \frac{1}{cos(t)} = 1$ ,obtemos

$2 \lim_{t\to 0} \frac{1}{t} tan(t) = 2$ .

por **Douglas16** » Sex Mar 15, 2013 23:13

Valeu santhiago, mas gostaria de saber se você já encontrou a resolução na primeira observação da questão, ou fez mais de uma observação (tentativa) até concluir qual a forma correta para resolver?
Tipo, quero saber qual o raciocínio que você usou para começar a resolver o limite.

por **e8group** » Sáb Mar 16, 2013 00:07

A observação que você tem que nota é que

$x \cdot tan \frac{2}{x} = 2 \cdot \frac{tan \dfrac{2}{x}}{\dfrac{2}{x}} = 2\cdot {\frac{sin\dfrac{2}{x}}{\dfrac{2}{x}}} \cdot \frac{1}{cos\dfrac{2}{x}}$ .

Para x> 0

$\left(x < 0 \right)$ muito grande (em módulo ) , $\frac{2}{x}$ se aproxima de zero .Por este motivo é conveniente a mudança de variável conforme postei acima ; logo ,o resultado do limite segue de imediato do limite fundamental trigonométrico e pelo fato que $cos(2/x) \to 1$ quando $2/x \to 0$ ou $cos(t) \to 1$ quando $t \to 0$ .

por **Douglas16** » Sáb Mar 16, 2013 10:49

Então, minha pergunta foi mais para aprender como as outras pessoas se posicionam diante de uma questão assim.
Tipo, eu por exemplo muitas vezes, quando fui resolver um problema, procuro deixar de me focar em uma só possível forma de começar, para pensar em quantas formas eu puder encontrar e, assim avaliar qual é a melhor e correta forma de resolver a questão, só depois disso eu procuro colocar a "mão na massa". Por exemplo se pensei numa forma de resolver, primeiro desenvolver mentalmente a resolução para depois, caso ela aparentar nenhum erro de lógica, aí sim desenvolver no papel.
Foi isso que eu quis dizer como minha última dúvida.