Será que a minha resposta é cabível

por **Douglas16** » Dom Mar 10, 2013 17:24

Determine as constantes a, b, e c de tal forma que satisfaçam a seguinte relação.
$\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{1+x}-\left(1+a*x+b*x*x \right)}{x*x*x}=c$
Baseando no fato de que x se aproxima de zero o denominador fica cada vez menor, o que torna o valor do numerador (quando se divide o numerador pelo denominador) cada vez maior e, como o numerador pode ser tanto negativo quanto positivo, minha conclusão (se não esqueci mais detalhes), é:
c= infinito negativo ou infinito positivo e a pertence aos reais e b pertence aos reais.
Será que é lógico e correto o que fiz?

por **young_jedi** » Dom Mar 10, 2013 23:57

neste caso voce tem que determinar a e b de maneira que o valor c seja um numero real.

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-(1+ax+bx^2)}{x^3}$

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-(1+ax+bx^2)}{x^3}.\frac{\sqrt{x+1}+(1+ax+bx^2)}{\sqrt{x+1}+(1+ax+bx^2)}$

$\lim_{x\to0}\frac{x+1-(1+ax+bx^2)^2}{x^3.(\sqrt{x+1}+(1+ax+bx^2))}$

$\lim_{x\to0}\frac{x+1-b^2x^4-2abx^3-(2b+a^2)x^2-2ax-1}{x^3.(\sqrt{x+1}+(1+ax+bx^2))}$

$\lim_{x\to0}\frac{x-b^2x^4-2abx^3-(2b+a^2)x^2-2ax}{x^3.(\sqrt{x+1}+(1+ax+bx^2))}$

$\lim_{x\to0}\frac{-b^2x^4-2abx^3+(-2b-a^2)x^2+(1-2a)x}{x^3.(\sqrt{x+1}+(1+ax+bx^2))}$

agora nos temos que simplificar o x^3

do denominador com o numerador, mais para isso é necessario que todos os expoentes de x do numerador seja maiores ou iguais a 3 portanto

-2b-a^2=0

e

portanto temos que

$a=\frac{1}{2}$

$b=-\frac{1}{8}$

assim o limite fica

$\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{64}x^4+\frac{1}{8}x^3}{x^3.(\sqrt{x+1}+(1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2))}$

$\lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{64}x+\frac{1}{8}}{(\sqrt{x+1}+(1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2))}=\frac{1}{16}$

por **Douglas16** » Seg Mar 11, 2013 10:10

Muito bem.
Como o exercício não define se a constante c é um valor finito e nem um valor infinito, fica a questão. Considerando c como um valor finito, sua resposta é a correta, mas se c é um valor infinito, penso (se estiver errado corrijam-me) que a resposta do primeiro post é uma alternativa.
Ou o exercício dá as condições necessárias para definir c como um valor finito?

por **young_jedi** » Seg Mar 11, 2013 11:27

no enunciado ele pede para definir as constantes a, b e c
se c é uma constante podemos assumir que ele é um valor numerico finito.

o enunciado realmente deixou meio vago, mais eu acho que essa é a melhor interpretação

por **Douglas16** » Seg Mar 11, 2013 11:51

Sabe o que acontece?
No material didático, em outros exercícios, o enunciado diz: "Calcule os seguintes valores limites" e, tipo, em muitos limites o valor encontrado é infinito positivo ou infinito negativo, mas nestes casos o limite não existe, pois é ilógico considerar o infinito positivo ou infinito negativo como um limite de uma expressão, e isso eu já sabia faz tempo. Mas como em todo começo de exercício tem o tal do enunciado citado anteriormente, passa o tempo e esqueço essa particularidade. Então no meu ponto de vista o erro provém também da forma do enunciado, que induz ao esquecimento desta particularidade, aí quando se tem um exercício como esse, ocorre uma má interpretação das condições dadas para resolver o exercício, aí já viu, vira uma bolinha de neve e kabum!!! Resultado: erro.
Cada coisa, hein...

por **Douglas16** » Seg Mar 11, 2013 12:07

Bem que o enunciado está correto, o que está errado é minha má interpretação.
Como você disse, o enunciado diz que a, b e c são valores constantes, logo não podem ser valores infinitos.
Resolvi o meu erro de interpretação?