Conjuntos numéricos.

por **Douglas2013** » Dom Mar 10, 2013 10:36

Queria saber se a minha resolução está certa.

Enunciado: Prove que, dado um número racional $\frac{a}{b}$ e um número natural $n \geq 2$ , nem sempre $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ é racional.

minha resolução não foi baseada totalmente em contas.
Resolução: Considerando $\frac{a}{b}$ uma fração irredutível e sabendo que $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ , claramente $\sqrt[n]{a}$ ou $\sqrt[n]{b}$ será irracional, porque como o MDC(a,b)= 1 e dessa forma a ou b será primo,tirando a raiz de a e b, uma delas será irracional. Então, o quociente de um númerou racional por um número irracional, não importando a ordem, resultara num número irracional.

Minha resolução esta certa??

por **e8group** » Dom Mar 10, 2013 11:51

OBS.: Tome cuidado ! Podemos ter a , b

não primos com

não múltiplo de

,ou seja , mdc (a,b) = 1

e além disso se $a = \gamma^n$ e $b = \beta^n$ para $\gamma$ e $\beta$ naturais ,nestas condições , $\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$ é racional .Conclusão mdc(a,b) = 1

não implica que $\sqrt[n]{a}$ ou $\sqrt[n]{b}$ é irracional .

Exemplo :

Para n = 2

e fixado

e

.

Temos :
1)

mdc(a,b) = 1

2)

não são primos pois a = 16 = 2^4

e

.

3) $\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$ é racional , pois por 2) , $\sqrt[n]{ \frac{a}{b} }= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \frac{2^2}{3}$

por **e8group** » Dom Mar 10, 2013 13:06

Tenho uma dica .

Pelo Teorema fundamental da aritmética , se a ,b > 1

são naturais $\implies$ existem primos positivos $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \hdots \leq a_{m'} , b_1 \leq b_2 \leq b_3 \leq \hdots \leq b_m$ ,tais que se a ,b

não são primos , eles podem ser escritos da seguinte forma :

$a = \prod_{i=1}^{m'} a_i , b = \prod_{i=1}^m b_i$ .
Sendo assim ,

devemos mostra que $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ é racional (*) $\iff , a_1 = a_2 = a_3= \hdots= a_{m'} ,b_1 = b_2 = b_3= \hdots =b_{m}$ e $m = k\cdot n, m' = k'\cdot n , \forall k ,k' \geq 1$ . (**) Caso contrário não é racional .

Para demonstrar (*) é fácil ,já p/ (* *) podemos supor que :

1) a,b

são primos .

2) a,b

não são primos com a_i

e

não simultaneamente iguais para $i = 1,2,3\hdots ,m' , j=1,2,3,\hdots ,m$ .

Podemos provar (**) por absurdo ,supondo que $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ é racional para todo $n\geq 2$ .

Foi a única forma que pensei utilizar p/ demonstrar .Tente concluir .

Editado erro de digitação .