A expressão abaixo expressa a inexistência de um limite?

por **Douglas16** » Sáb Mar 02, 2013 13:23

Eu tenho para mim que quando a variável dependente (y) que pertence a um função, tende ao infinito, então por ser um valor infinito não pode-se dizer que exista um limite. Isso é diferente quando a variável dependente tende a um valor finito, aí sim pode-se dizer que existe um limite. Então qual é a "convenção matemática" para funções em que a variável dependente tende ao infinito. Minha opinião é que não existe. Alguém pode confirmar qual é a convenção sobre isso no mundo matemático, se puder citar fontes oficiais (tipo a sociedade brasileira de matemática, por exemplo). É algo óbvio, creio eu, mas não conheço um material didático que diga explicitamente isso. Só quero saber qual é a posição oficial dos matemáticos sobre isso.
Abaixo segue duas expressões modelo:
$1. \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x*x}$
$2. \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-2}{x*x-x}$

por **Russman** » Sáb Mar 02, 2013 18:21

Suponha que tenhamos uma função f(x)

e desejamos estudar o que acontece com ela em dado x = x_0

. Assim, calculamos o limite $\underset{x\rightarrow x_0}{\lim }f(x)$ . Se este limite existir, isto é, se existe um VALOR REAL

tal que $\underset{x\rightarrow x_0}{\lim }f(x) = L$ então dizemos que esta função é limitada por

em

. Porém, se $\underset{x\rightarrow x_0}{\lim }f(x) = \pm \infty$ então dizemos que a função não é limitada, ou seja, o limite em x=x_0

não existe.

Há casos em que temos de estudar os limites LATERAIS. Estes são calculados quando aproximamos

de

pela esquerda e pela direita. Por exemplo, dizer que

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\left (\frac{1}{x} \right ) = \infty$

é um "erro" comum. Na verdade não um erro, mas sim uma forma corriqueira de dizer que quando aproximamos

de

vindo DA DIREITA pela função $f(x) = \frac{1}{x}$ estamos tendo valores cada vez maiores. Agora, se aproximarmos

peka esquerda nessa função teremos não mais $\infty$ e sim $- \infty$ . De fato,

: Graáfico; ScreenHunter_01 Mar. 02 17.19.gif (4.51 KiB) Exibido 1480 vezes

Vemos claramente que

$\underset{x\rightarrow 0^-}{\lim }\left (\frac{1}{x} \right ) = -\infty$
$\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim }\left (\frac{1}{x} \right ) = +\infty$

Assim, o limite bilateral não existe e a função não é diferenciável nesse ponto e blá, blá, blá...

)

por **Douglas16** » Sáb Mar 02, 2013 19:38

Então resumindo: muito do que se fala é na verdade um erro na forma de se expressar. Pois colocar um sinal de igual e depois dele um símbolo matemático de infinito deve ser traduzido como "cada vez maior" e não que se possa admitir o infinito como um limite, isso é ilógico. Game over :?: