Questão do concurso da Compesa-PE - Permutação circular

por **Dayse** » Qui Fev 21, 2013 18:15

Numa mesa redonda, há um professor e cinco alunos estudando matemática. O professor é o único que não sai do lugar onde está. Sabendo disso, o número de permutações entre os estudantes é:

A) 5040. B) 720. C) 120. D) 24. E) 6.

- Eu sei que a fórmula da permutação circular é: Pc (m-1)!, daí encontrei 24, porém no gabarito diz que é 120. Alguém pode explicar?

Grata.

por **Cleyson007** » Qui Fev 21, 2013 18:27

Boa tarde Dayse!

Seja bem-vinda ao AjudaMatemática :y:

Bom, análise combinatória não é o meu forte.. Mas acredito que seja isso:

n = número de pessoas ao redor da mesa = 6 (1 professor + 5 alunos)

Pc = (n - 1)!

Pc = (6 - 1)!

Pc = 5! --> Pc = 120

Vamos ver o que os demais colegam dizem :y:

Att,

Cleyson007

por **Dayse** » Qui Fev 21, 2013 18:36

Obrigada!

Bom, também pensei assim. Mas como o professor não sai do lugar, então só vai ocorrer a permutação entre os 5 alunos. Daí eu iria subtrair 1 desses 5.

por **DanielFerreira** » Qui Fev 21, 2013 23:44

Dayse e Cleyson,
boa noite!
Pensei da seguinte forma, mas, não garanto que seja a forma correta; afinal, esse assunto também não é o meu forte. [risos]

Fixemos um lugar para o professor (x) ficar. Exemplo, na primeira posição - que não existe, mas, vamos imaginar :-D

: X,a,b,c,d,e,X,a,b,c,d,e,X
Com isso, vamos calcular apenas a permutação entre os alunos...

$\\ P_c = (n - 1)! \\ P_c = (5 - 1)! \\ P_c = 4! \\ \boxed{P_c = 24}$

E, se o professor estivesse ocupando a segunda posição: a,X,b,c,d,e,a,X,a,b,c,d,e,a,X
Calculemos as permutações...

$\\ P_c = (n - 1)! \\ P_c = (5 - 1)! \\ P_c = 4! \\ \boxed{P_c = 24}$

Se, fosse a terceira posição: a,b,X,c,d,e,a,b,X,c,d,e,a,b,X

$\\ P_c = (n - 1)! \\ P_c = (5 - 1)! \\ P_c = 4! \\ \boxed{P_c = 24}$

Se, quarta posição: a,b,c,X,d,e,a,b,c,X,d,e,a,b,c,X

$\\ P_c = (n - 1)! \\ P_c = (5 - 1)! \\ P_c = 4! \\ \boxed{P_c = 24}$

Enfim, a quinta posição: a,b,c,d,X,e,a,b,c,d,X,e,a,b,c,d,X

$\\ P_c = (n - 1)! \\ P_c = (5 - 1)! \\ P_c = 4! \\ \boxed{P_c = 24}$

No enunciado, não foi dito qual o posicionamento do professor na mesa, então, temos aquelas possibilidades. Inclusive, vale ressaltar que quando

ocupa a sexta posição ela coincide com a primeira, isto é, X,a,b,c,d,e,X,a,b,c,d,e,X = a,b,c,d,e,X,a,b,c,d,e,X,a,b,c,d,e,X.

Portanto,

$\\ 5 \times 24 = \\ \boxed{\boxed{120}}$