Problema De Sistemas De Equação

por **Rafael16** » Seg Jan 14, 2013 20:02

A soma dos termos de uma fração é 5. Subtraindo 1 unidade de cada termo obtemos uma fração equivalente a 1/2. Qual a fração original?
Resposta: 2/3

a+b=5

$\frac{a}{b}=\frac{a-1}{b-1}=\frac{1}{2}$

Resolvendo isso chego a $a-b=\frac{1}{2}$

a + b = 5

$a-b=\frac{1}{2}$

$a = \frac{11}{4}$ e $b=\frac{9}{4}$

$\frac{a}{b}=\frac{\frac{11}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{9}{11}$

:?:

por **Russman** » Seg Jan 14, 2013 20:28

Dois comentários:

1°) Se você supõe que a fração é $\frac{a}{b}$ então, necessariamente, os números

e

devem ser INTEIROS de forma que a sua subtração, isto é, a-b

, deve ser inteira também. Logo, o resultado $a-b = \frac{1}{2}$ é ,claramente, errado.

2°) Você partiu de a+b=5

e, no final, calculou um resultado $\frac{a}{b} = \frac{9}{11}$ . É verdade que 9+11 = 5

?
É sempre bom conferir o resultado encontrado com a previsão inicial.

Você está no caminho certo. Apenas refaça a manipulação de $\frac{a-1}{b-1} = \frac{1}{2}$ .

por **Rafael16** » Seg Jan 14, 2013 20:55

Aaaaassimm entendi!
É só fazer isso né?
$\frac{a-1+1}{b-1+1}=\frac{1+1}{2+1}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$

Obrigado Russman!

por **Russman** » Seg Jan 14, 2013 21:14

Não, você não pode fazer isso!

Se você somar

, por exemplo, em

,que é o numerador da fração, você está, na verdade, somando $\frac{1}{b}$ a $\frac{a}{b}$ .

$\frac{a}{b}+\frac{1}{b} = \frac{a+1}{b}$ .

Um exemplo pra te mostrar que isso que você fez deu certo por uma coincidência.

$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{4+1}{8+1} = \frac{1+1}{2+1}\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{2}{3}$

Claramente isto não está certo!

Você pensou antes bem. Tome

$\frac{a-1}{b-1} = \frac{1}{2}$

de forma que

$\frac{a-1}{b-1} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(a-1) = 1(b-1)\Rightarrow 2a-2 = b-1 \Rightarrow 2a-b = -1+2 \Rightarrow 2a-b=1$

A última relação é a que você deve juntar a a+b=5

e resolver o sistema

$\left\{\begin{matrix} 2a-b=1\\ a+b=5 \end{matrix}\right.$ .

Aí sim, a solução é a=2

e

.

Conferindo:

a+b = 2+3 = 5

OK!

$\frac{a-1}{b-1} = \frac{2-1}{3-1} = \frac{1}{2}$ OK!

por **Rafael16** » Seg Jan 14, 2013 21:26

Ah sim.
Valeu Russman pelas dicas de como "pensar matematicamente" hehe.
Matemática é f*** mesmo...
Se eu fizesse física igual você, eu ia ficar doido e desistir logo no primeiro semestre. rsrs

por **Russman** » Seg Jan 14, 2013 21:30

HAHAHA

Pra se sair bem em Matemática você deve fazer bastante exercícios! O nome mesmo já diz: exercitar. Ou seja, é como um treinamento. Concordo que ela exija bastante prática. Com o tempo você vai pegando o jeito e é até capaz de gostar, pq Matemática é uma ciência brilhante.

Bons estudos!