Determinar p

por **Rafael16** » Sex Dez 28, 2012 17:50

Eai gente!

Um conjunto formado por p+2 elementos possui 12 subconjuntos a mais do que um conjunto formado por p elementos. Determine p.

Cheguei na equação abaixo mas não consigo resolvê-la:

${2}^{p+2}={2}^{p}+12$

por **DanielFerreira** » Sex Dez 28, 2012 21:27

O conjunto formado por

elementos possui 2^n

subconjuntos, então:

$\begin{cases} p \Rightarrow 2^p \\ (p + 2) \Rightarrow 2^{p + 2} \end{cases}$

Do enunciado, temos:

$2^{p + 2} = 2^p + 12$

Respondendo sua dúvida...

$\\ 2^{p + 2} = 2^p + 12 \\\\ 2^p \cdot 2^2 = 2^p + 12 \\\\ 4 \cdot 2^p - 2^p = 12 \\\\ 3 \cdot 2^p = 12 \\\\ 2^p = \frac{12}{3} \\\\ 2^p = 4 \\\\ 2^p = 2^2 \\\\ \boxed{\boxed{p = 2}}$

Comente qualquer dúvida!

Daniel F.

por **Rafael16** » Sáb Dez 29, 2012 15:12

Obrigado Daniel !

$4.2^{p}-2^{p}=12$ --> Eu pensava que não podia subtrair $4.2^{p}$ com $2^{p}$ .
No ensino fundamental eu aprendi que primeiro deve resolver as potencias, e só depois resolver as outras operações.

Mas enfim, se tivesse, por exemplo, $2^{x} + 3^{x}$ , isso daria $5^{x}$ ?

por **e8group** » Sáb Dez 29, 2012 17:09

Boa tarde .

Rafael16 escreveu:
Obrigado Daniel !

--> Eu pensava que não podia subtrair com .
No ensino fundamental eu aprendi que primeiro deve resolver as potencias, e só depois resolver as outras operações.

Mas enfim, se tivesse, por exemplo, , isso daria ?

Acontece que há casos que nem sempre há como resolver a potência primeiro .

Dica :

Temos ,

$4 \cdot 2^p - 2^p = 12$

Deixando , 2^p

em evidência segue que $4 \cdot 2^p - 2^p = 2^p (4 - 1) = 3 \cdot 2^p$ .

Outra forma de pensar ...

Suponhamos que para algum

natural , temos 2^p = r > 0

.

Assim ,

4r - r = 3r

.

E, assim sucessivamente para cada

natural vamos ter um resultado natural multiplo de 3 ( $4 \cdot 2^p - 2^p$ ).

Para p = 1

, temos $4 \cdot 2^1 - 2^1 = 4\cdot 2 - 2 = 6 = 2\cdot 3 = 3 \cdot 2^1$ .

Agora será mesmo que 3^x + 2^x = 5^x

. Para isto ser verdade ,temos que mostrar que para qualquer

real a igualdade seja verdadeira .

Se x = 1

.

.

E

. Parece ser verdadeiro . (Cuidado) Para x = 0

, $2^0 + 3^0 = 1 + 1 = 2 \neq 5^0 = 1$ .

É importante ter cuidado . Recomendo que observe uma expressão e veja se há fatores em comum ,isto é muito útil nestes casos .

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