Sobre as Cônicas

[Jhenrique]

Olá!

Vendo as vídeo-aulas do Luiz Aquino, especificamente esta: [http://www.youtube.com/watch?v=39f98A-rtsU]
[34. Geometria Analítica - Equação Geral das Cônicas]

Ele demonstra a equação da parábola como:


E a quação geral das cônicas como:


Ok! ...

... Mas estamos carecas de saber que a equação da parábola é , portanto, a equação da parábola estudada em geometria analítica não é deficiente?

E outra, eu vi um livro que traz a equação geral das cônicas como , certamente fazendo alusão ao produto notável: .

E então, que me dizem? Gostaria de esclarecimentos!

Obg!

[LuizAquino]

Olá!
Vendo as vídeo-aulas do Luiz Aquino, especificamente esta: [http://www.youtube.com/watch?v=39f98A-rtsU]
[34. Geometria Analítica - Equação Geral das Cônicas]

Ele demonstra a equação da parábola como:


E a quação geral das cônicas como:


Ok! ...

... Mas estamos carecas de saber que a equação da parábola é , portanto, a equação da parábola estudada em geometria analítica não é deficiente?

Na videoaula "28. Geometria Analítica - Equação da Parábola" (também disponível em meu canal no YouTube), eu exibo que a equação serve para representar as parábolas que possuem vértice na origem, eixo de simetria coincidindo com o eixo y e concavidade voltada para cima.

Entretanto, essas restrições não representam uma "deficiência". Isso porque sempre podemos efetuar translações e rotações de eixos de modo a obter essa equação básica. Ou seja, dada qualquer parábola de equação , podemos efetuar translações e rotações de eixos de modo a obter a equação básica (que é muito mais simples de trabalhar do que a anterior). É exatamente por isso que estudamos translações e rotações de eixos em Geometria Analítica.

E outra, eu vi um livro que traz a equação geral das cônicas como , certamente fazendo alusão ao produto notável: .

E então, que me dizem? Gostaria de esclarecimentos!

Cada autor tem as suas preferências. Ambas as equações estão corretas no contexto usado por cada autor.

[Jhenrique]

Entretanto, essas restrições não representam uma "deficiência". Isso porque sempre podemos efetuar translações e rotações de eixos de modo a obter essa equação básica. Ou seja, dada qualquer parábola de equação , podemos efetuar translações e rotações de eixos de modo a obter a equação básica (que é muito mais simples de trabalhar do que a anterior). É exatamente por isso que estudamos translações e rotações de eixos em Geometria Analítica.

Muito bacana!

Cada autor tem as suas preferências. Ambas as equações estão corretas no contexto usado por cada autor.

Mas tem alguma utilidade algébrica?

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Por fim, se não me esqueci de mais nenhuma pergunta, a última é a seguinte... conseguimos relacionar 4 tipos de equações com uma entidade geométrica, a cônica. Mas sabemos que a matemática possui muitos outros modelos de equações além das cônicas, esses outros modelos não estão relacionados com outras entidades geométricas também?

[LuizAquino]

Mas tem alguma utilidade algébrica?

Não. A mesma "utilidade algébrica" que essa tem, a outra também tem.

Por fim, se não me esqueci de mais nenhuma pergunta, a última é a seguinte... conseguimos relacionar 4 tipos de equações com uma entidade geométrica, a cônica. Mas sabemos que a matemática possui muitos outros modelos de equações além das cônicas, esses outros modelos não estão relacionados com outras entidades geométricas também?

Dado um certo "modelo de equação", podemos obter uma "entidade geométrica" relacionada a ele (o seu "gráfico", por assim dizer).

A questão é: nos cursos de graduação nós apenas estudamos as "entidades geométricas" clássicas, que são amplamente aplicadas nos mais diversos problemas em Matemática, Física e Engenharia.

As "entidades geométricas" que "não são clássicas" podem ser estudadas por curiosidade ou para resolver um problema muito específico. Nesse contexto, elas não são abordadas nos cursos de graduação. Até porque, se em uma graduação fossemos estudar tudo de tudo com total detalhe, ao invés do curso durar 4 ou 5 anos ele duraria 20 ou 30! Ou até mais!

[Jhenrique]

Entendi... bem, eu perguntei por curiosidade mesmo, na verdade, eu acho que tudo é importante, penso que é importante conhecer o todo a fim de ter um "baralho completo de cartas". Quero dizer, a curva evolvente não é um assunto estudado, porém Euler a conhecia muito bem as propriedades dessa curva "irrelevante" e sugeriu ela como perfil de dentes de engrenagens, esse perfil é usado até hoje em quase todas as engrenagens fabricadas!