[limite] Está correta a resolução?

por **Fabio Wanderley** » Qui Nov 29, 2012 11:47

Bom dia, pessoal,

Estou estudando sequências e séries, e acabei precisando resolver esse limite:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}1^n$

Sei que $1^\infty$ é uma indeterminação.

Então fiz essa resolução:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}1^n=\lim_{n \rightarrow +\infty}e^{n\,\ln\,1}=e^{\lim_{n \rightarrow +\infty}n\,\ln\,1}=e^{\lim_{n \rightarrow +\infty}0}=e^{0}=1$

Está correta?

Usei um programa matemático (Sage), e a resposta para o limite realmente foi 1.

Desde já agradeço!

por **e8group** » Qui Nov 29, 2012 20:49

Vamos supor que , exista uma função

definida por $f(n) =1^n , n \in \mathbb{R}$ .É fácil ver que para quaisquer valor que

assmuir ,

. Sendo assim, tomar o limite quando $n \to +\infty$ de 1^n

é o mesmo que o de

.Logo , $\lim_{n\to +\infty}1 = 1$ . Não vejo erro na sua solução , mas acredito que é desnecessário todo este procedimento .

por **MarceloFantini** » Sex Nov 30, 2012 00:02

Tenho a impressão que você está pensando em $\lim_{n \to + \infty} 1^n$ como $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ . Algumas pessoas pensam que este limite é um pois "aplicam" o limite "dentro" e depois aplicam "fora", fazendo

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to + \infty} 1^n = 1$ .

Isto está errado. As duas quantidades, $\frac{1}{n}$ e ()^n

variam simultaneamente, e você deve levar isto em conta.

por **LuizAquino** » Sex Nov 30, 2012 06:35

Fabio Wanderley escreveu:Bom dia, pessoal,

Estou estudando sequências e séries, e acabei precisando resolver esse limite:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}1^n$

Sei que $1^\infty$ é uma indeterminação.

Então fiz essa resolução:

$\lim_{n \rightarrow +\infty}1^n=\lim_{n \rightarrow +\infty}e^{n\,\ln\,1}=e^{\lim_{n \rightarrow +\infty}n\,\ln\,1}=e^{\lim_{n \rightarrow +\infty}0}=e^{0}=1$

Está correta?

Usei um programa matemático (Sage), e a resposta para o limite realmente foi 1.

Desde já agradeço!

Quando dizemos informalmente que " $1^\infty$ é uma indeterminação", o que queremos dizer formalmente é: se $\lim_{x\to c} f(x) = 1$ e $\lim_{x\to c} g(x) = +\infty$ (ou $-\infty$ ), então $\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}$ é uma indeterminação.

No caso do limite em questão, como já explicou santhiago anteriormente, para qualquer número real n, temos que 1^n = 1

. Portanto, temos simplesmente que:

$\lim_{n\to +\infty}1^n = \lim_{n\to +\infty} 1$

Note que o segundo limite não é uma indeterminação. Além disso, o resultado dele é apenas 1. Portanto, temos que o limite original é tal que:

$\lim_{n\to +\infty}1^n = 1$

Veja um outro exemplo envolvendo essas questões de "indeterminação". Considere o limite abaixo:

$\lim_{n \to 0} \frac{0}{n}$

Quando dizemos informalmente que "0/0 é uma indeterminação", o que queremos dizer formalmente é: se $\lim_{x\to c} f(x) = 0$ e $\lim_{x\to c} g(x) = 0$ , então $\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ é uma indeterminação.

Mas no caso do limite proposto, note que para qualquer número real n não nulo, temos que $\frac{0}{n} = 0$ . Como nesse limite temos que n não é zero (ele apenas se aproxima de zero), podemos simplesmente escrever:

$\lim_{n \to 0} \frac{0}{n} = \lim_{n \to 0} 0$

Note que o segundo limite não é uma indeterminação. Além disso, o resultado dele é apenas 0. Portanto, temos que o limite proposto é tal que:

$\lim_{n \to 0} \frac{0}{n} = 0$

por **Fabio Wanderley** » Sex Nov 30, 2012 09:36

santhiago escreveu:Não vejo erro na sua solução , mas acredito que é desnecessário todo este procedimento .

Realmente, você tem razão, santhiago. Obrigado pela ajuda!

MarceloFantini escreveu:(...)
As duas quantidades, $\frac{1}{n}$ e variam simultaneamente, e você deve levar isto em conta.

Sim, Marcelo. Essa diferenciação eu já tinha em mente. No caso, só não estava aceitando que o limite dado seria respondido apenas colocando "1". E obrigado pela ajuda!

LuizAquino escreveu:(...)

Obrigado, LuizAquino! Havia raciocinado no que o santhiago postou. Agora ficou mais clara ainda a ideia.

Concluindo, então, a minha resolução é verdadeira, mas não precisava de tudo isso. Foi como matar uma mosca com uma bazuca. :lol: