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[Indução Matemática] Ajuda !

[Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Qua Nov 21, 2012 15:02

Olá Pessoal, estou precisando muito da ajuda de vocês pois preciso resolver esse exercício porém não sei absolutamente nada, e se eu não fizer corro o risco de pegar DP na faculdade...

Prove que, para todo n inteiro positivo, é verdadeira a soma:

1^2+3^2+?+(2n-1)^n=n(2n-1)(2n+1)/3

OBS: O pedaço n(2n-1)(2n+1) é inteiro dividido por 3 (Não consegui formatar) e nao somente o (2n+1)

Se alguém puder me ajudar ficarei eternamente grato !

Obrigado !
rbhorvath
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor young_jedi » Qua Nov 21, 2012 17:06

veja o seguinte relações de equações

\begin{matrix}
(2+1)^3&=&8+3.4.1+3.2.1+1\\
(2+3)^3&=&8+3.4.3+3.2.3^2+3^3\\
(2+5)^3&=&8+3.4.5+3.2.5^2+5^3\\
(2+7)^3&=&8+3.4.7+3.2.7^2+7^3\\
\vdots&&\vdots\\
(2+2n-1)^3&=&8+3.4.(2n-1)+3.2.(2n-1)^2+(2n-1)^3
\end{matrix}

dai resolvendo a soma do primeiro parenteses de todas as equações

\begin{matrix}
(3)^3&=&8+3.4.1+3.2.1+1\\
(5)^3&=&8+3.4.3+3.2.3^2+3^3\\
(7)^3&=&8+3.4.5+3.2.5^2+5^3\\
(9)^3&=&8+3.4.7+3.2.7^2+7^3\\
\vdots&&\vdots\\
(2n+1)^3&=&8+3.4.(2n-1)+3.2.(2n-3)^2+(2n-1)^3
\end{matrix}

então

\begin{matrix}
(3)^3-1&=&8+3.4+3.2.1\\
(5)^3-3^3&=&8+3.4.3+3.2.3^2\\
(7)^3-5^3&=&8+3.4.5+3.2.5^2\\
(9)^3-7^3&=&8+3.4.7+3.2.7^2\\
\vdots&&\vdots\\
(2n+1)^3&-(2n-1)^3=&8+3.4.(2n-1)+3.2.(2n-1)^2
\end{matrix}

agora somando todas as equações nos teremos que os termos se cancelam do lado esquerdo da igualdade resultando em:

(2n+1)^3-1=8.n+3.4.(1+3+5+7...(2n-1))+3.2.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

(2n+1)^3-1=8.n+12.(1+3+5+7...(2n-1))+6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

utilizando a soma de termos de uma PA nos resolvemos um dos parenteses do lado direito da igualdade

(2n+1)^3-1=8.n+12.(2n)\frac{n}{2}+6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

(2n+1)^3-1=8.n+12.n^2+6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

passando alguns termos para o outro lado da equação

(2n+1)^3-1-8n-12n^2=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

expandindo a potencia de 3 e resolvendo algumas coisas

8n^3+12n^2+6n+1-1-8n-12n^2=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

8n^3-2n=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

2n(4n^2-1)=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

2n(2n-1)(2n+1)=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

n(2n-1)(2n+1)=3.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

repare que oque esta dentro do parenteses do lado direito da igualdade é a soma procudara então isolando isto encontra-se a resposta
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Qua Nov 21, 2012 18:27

young_jedi, MUITO OBRIGADO me ajudou DEMAIS... cara, sou tão ruim que até quando o exercício ta resolvido tenho dificuldade haha :-D

A resposta então seria: 3.(1² + 3² + 5² + 7²....(2n-1)² ?

MUITO OBRIGADO! :y:
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor young_jedi » Qua Nov 21, 2012 18:35

é na ultima equação voce passa o 3 dividindo para o outro lado da expressão e ai voce chega justamente na relação que voce queria demonstrar.

1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Qua Nov 21, 2012 18:39

young_jedi escreveu:é na ultima equação voce passa o 3 dividindo para o outro lado da expressão e ai voce chega justamente na relação que voce queria demonstrar.

1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}


Ok, cara MUITO OBRIGADO por ceder um pouco do seu tempo pra me ajudar obrigado mesmo.

Abraços
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor MarceloFantini » Qua Nov 21, 2012 23:05

Apesar de ser uma solução, ela não é por indução.
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Qua Nov 21, 2012 23:12

MarceloFantini escreveu:Apesar de ser uma solução, ela não é por indução.


Marcelo, no momento só possuo essa solução que o nosso amigo young_jedi gentilmente resolveu para mim... se você quiser postar outra eu agradeço também ! :y:
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor MarceloFantini » Qua Nov 21, 2012 23:26

Antes que eu me esqueça, não crie tópicos repetidos. Eu joguei o outro na lixeira.

Resolvi comentar que a solução não é por indução porque, apesar de não ter sido explícito no enunciado, você nomeou o tópico como Indução Matemática. Assim presumi que a idéia é resolver por indução. Você sabe quais são os passos para provar uma afirmação por indução?
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Qua Nov 21, 2012 23:31

MarceloFantini escreveu:Antes que eu me esqueça, não crie tópicos repetidos. Eu joguei o outro na lixeira.

Resolvi comentar que a solução não é por indução porque, apesar de não ter sido explícito no enunciado, você nomeou o tópico como Indução Matemática. Assim presumi que a idéia é resolver por indução. Você sabe quais são os passos para provar uma afirmação por indução?


Então estamos aprendendo indução matemática porém no enunciado o professor não especificou o método que deveria ser resolvido portanto acho que não tem importância como é resolvido e sim o resultado...

Não sei como resolver esse exercício por indução matemática
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor MarceloFantini » Qua Nov 21, 2012 23:36

rbhorvath escreveu:Então estamos aprendendo indução matemática porém no enunciado o professor não especificou o método que deveria ser resolvido portanto acho que não tem importância como é resolvido e sim o resultado...

Não sei como resolver esse exercício por indução matemática

O resultado você já sabe, não são necessárias todas essas contas. A grande vantagem de demonstrações por indução é justamente provar resultados que não necessariamente tem uma dedução direta.

Para provar um resultado por indução, faça o seguinte:

1) Calcule os dois lados da expressão separadamente e mostre que são iguais.
2) Assuma que a proposição é válida para n \in \mathbb{Z}.
3) Mostre que o resultado é válido para n+1.

Tente fazer o primeiro passo.
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor Cleyson007 » Qui Nov 22, 2012 10:09

Olá, bom dia a todos!

Resolvendo por indução:

Vamos provar que a igualdade é válida para n = 1---> 1² = 1(2 - 1)(2 + 1)/3 <---> 1=1 (OK)

Vamos supor que seja válida para n = k ---> 1² + 3² + ... + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3

Logo, também será válida para n = k+1. Acompanhe:

1² + 3² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 + 4k² + 4k + 1 = (4n³ + 12n² + 11n + 3)/3 = (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

Comente qualquer dúvida :y:

Att,

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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Qui Nov 22, 2012 14:17

Cleyson007 escreveu:Olá, bom dia a todos!

Resolvendo por indução:

Vamos provar que a igualdade é válida para n = 1---> 1² = 1(2 - 1)(2 + 1)/3 <---> 1=1 (OK)

Vamos supor que seja válida para n = k ---> 1² + 3² + ... + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3

Logo, também será válida para n = k+1. Acompanhe:

1² + 3² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 + 4k² + 4k + 1 = (4n³ + 12n² + 11n + 3)/3 = (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

Comente qualquer dúvida :y:

Att,

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Olá Cleyson, muito obrigado por postar essa solução... posso copiar exatamente do jeito que você postou que estará certo?
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor Cleyson007 » Qui Nov 22, 2012 15:11

Olá rbhorvath!

Sim, está correto :y:

Abraço,

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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor rbhorvath » Sex Nov 23, 2012 16:53

Cleyson007 escreveu:Olá rbhorvath!

Sim, está correto :y:

Abraço,

Cleyson007


Ok, MUITO OBRIGADO levarei pra faculdade hoje... espero que dê tudo certo ! :y:
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Re: [Indução Matemática] Ajuda !

Mensagempor M_Junior » Sáb Abr 05, 2014 22:12

olá

Estou com dificulades em provar pelo metodo de indução este somátório.
\sum_{k=0}^{n}({\frac{n}{k})2^k = 3^n
Atenção, que o valor que esta dentro de ( ) não é uma fração.
Será que alguem me pode ajudar.
Obrigado
M_Junior
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D