[Indução Matemática] Ajuda !

por **rbhorvath** » Qua Nov 21, 2012 15:02

Olá Pessoal, estou precisando muito da ajuda de vocês pois preciso resolver esse exercício porém não sei absolutamente nada, e se eu não fizer corro o risco de pegar DP na faculdade...

Prove que, para todo n inteiro positivo, é verdadeira a soma:

1^2+3^2+?+(2n-1)^n=n(2n-1)(2n+1)/3

OBS: O pedaço n(2n-1)(2n+1) é inteiro dividido por 3 (Não consegui formatar) e nao somente o (2n+1)

Se alguém puder me ajudar ficarei eternamente grato !

Obrigado !

por **young_jedi** » Qua Nov 21, 2012 17:06

veja o seguinte relações de equações

$\begin{matrix} (2+1)^3&=&8+3.4.1+3.2.1+1\\ (2+3)^3&=&8+3.4.3+3.2.3^2+3^3\\ (2+5)^3&=&8+3.4.5+3.2.5^2+5^3\\ (2+7)^3&=&8+3.4.7+3.2.7^2+7^3\\ \vdots&&\vdots\\ (2+2n-1)^3&=&8+3.4.(2n-1)+3.2.(2n-1)^2+(2n-1)^3 \end{matrix}$

dai resolvendo a soma do primeiro parenteses de todas as equações

$\begin{matrix} (3)^3&=&8+3.4.1+3.2.1+1\\ (5)^3&=&8+3.4.3+3.2.3^2+3^3\\ (7)^3&=&8+3.4.5+3.2.5^2+5^3\\ (9)^3&=&8+3.4.7+3.2.7^2+7^3\\ \vdots&&\vdots\\ (2n+1)^3&=&8+3.4.(2n-1)+3.2.(2n-3)^2+(2n-1)^3 \end{matrix}$

então

$\begin{matrix} (3)^3-1&=&8+3.4+3.2.1\\ (5)^3-3^3&=&8+3.4.3+3.2.3^2\\ (7)^3-5^3&=&8+3.4.5+3.2.5^2\\ (9)^3-7^3&=&8+3.4.7+3.2.7^2\\ \vdots&&\vdots\\ (2n+1)^3&-(2n-1)^3=&8+3.4.(2n-1)+3.2.(2n-1)^2 \end{matrix}$

agora somando todas as equações nos teremos que os termos se cancelam do lado esquerdo da igualdade resultando em:

(2n+1)^3-1=8.n+3.4.(1+3+5+7...(2n-1))+3.2.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

(2n+1)^3-1=8.n+3.4.(1+3+5+7...(2n-1))+3.2.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

(2n+1)^3-1=8.n+12.(1+3+5+7...(2n-1))+6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

utilizando a soma de termos de uma PA nos resolvemos um dos parenteses do lado direito da igualdade

$(2n+1)^3-1=8.n+12.(2n)\frac{n}{2}+6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)$

(2n+1)^3-1=8.n+12.n^2+6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

passando alguns termos para o outro lado da equação

(2n+1)^3-1-8n-12n^2=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

expandindo a potencia de 3 e resolvendo algumas coisas

8n^3+12n^2+6n+1-1-8n-12n^2=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

2n(4n^2-1)=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

2n(2n-1)(2n+1)=6.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

n(2n-1)(2n+1)=3.(1^2+3^2+5^2+7^2...(2n-1)^2)

repare que oque esta dentro do parenteses do lado direito da igualdade é a soma procudara então isolando isto encontra-se a resposta

por **rbhorvath** » Qua Nov 21, 2012 18:27

young_jedi, MUITO OBRIGADO me ajudou DEMAIS... cara, sou tão ruim que até quando o exercício ta resolvido tenho dificuldade haha :-D

A resposta então seria: 3.(1² + 3² + 5² + 7²....(2n-1)² ?

MUITO OBRIGADO! :y:

por **young_jedi** » Qua Nov 21, 2012 18:35

é na ultima equação voce passa o 3 dividindo para o outro lado da expressão e ai voce chega justamente na relação que voce queria demonstrar.

$1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

por **rbhorvath** » Qua Nov 21, 2012 18:39

young_jedi escreveu:é na ultima equação voce passa o 3 dividindo para o outro lado da expressão e ai voce chega justamente na relação que voce queria demonstrar.

$1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Ok, cara MUITO OBRIGADO por ceder um pouco do seu tempo pra me ajudar obrigado mesmo.

Abraços

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 23:05

Apesar de ser uma solução, ela não é por indução.

por **rbhorvath** » Qua Nov 21, 2012 23:12

MarceloFantini escreveu:Apesar de ser uma solução, ela não é por indução.

Marcelo, no momento só possuo essa solução que o nosso amigo young_jedi gentilmente resolveu para mim... se você quiser postar outra eu agradeço também ! :y:

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 23:26

Antes que eu me esqueça, não crie tópicos repetidos. Eu joguei o outro na lixeira.

Resolvi comentar que a solução não é por indução porque, apesar de não ter sido explícito no enunciado, você nomeou o tópico como Indução Matemática. Assim presumi que a idéia é resolver por indução. Você sabe quais são os passos para provar uma afirmação por indução?

por **rbhorvath** » Qua Nov 21, 2012 23:31

MarceloFantini escreveu:Antes que eu me esqueça, não crie tópicos repetidos. Eu joguei o outro na lixeira.

Resolvi comentar que a solução não é por indução porque, apesar de não ter sido explícito no enunciado, você nomeou o tópico como Indução Matemática. Assim presumi que a idéia é resolver por indução. Você sabe quais são os passos para provar uma afirmação por indução?

Então estamos aprendendo indução matemática porém no enunciado o professor não especificou o método que deveria ser resolvido portanto acho que não tem importância como é resolvido e sim o resultado...

Não sei como resolver esse exercício por indução matemática

por **MarceloFantini** » Qua Nov 21, 2012 23:36

rbhorvath escreveu:Então estamos aprendendo indução matemática porém no enunciado o professor não especificou o método que deveria ser resolvido portanto acho que não tem importância como é resolvido e sim o resultado...

Não sei como resolver esse exercício por indução matemática

O resultado você já sabe, não são necessárias todas essas contas. A grande vantagem de demonstrações por indução é justamente provar resultados que não necessariamente tem uma dedução direta.

Para provar um resultado por indução, faça o seguinte:

1) Calcule os dois lados da expressão separadamente e mostre que são iguais.
2) Assuma que a proposição é válida para $n \in \mathbb{Z}$ .
3) Mostre que o resultado é válido para n+1

.

Tente fazer o primeiro passo.

por **Cleyson007** » Qui Nov 22, 2012 10:09

Olá, bom dia a todos!

Resolvendo por indução:

Vamos provar que a igualdade é válida para n = 1---> 1² = 1(2 - 1)(2 + 1)/3 <---> 1=1 (OK)

Vamos supor que seja válida para n = k ---> 1² + 3² + ... + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3

Logo, também será válida para n = k+1. Acompanhe:

1² + 3² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 + 4k² + 4k + 1 = (4n³ + 12n² + 11n + 3)/3 = (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

Comente qualquer dúvida :y:

Att,

Cleyson007

por **rbhorvath** » Qui Nov 22, 2012 14:17

Cleyson007 escreveu:Olá, bom dia a todos!

Resolvendo por indução:

Vamos provar que a igualdade é válida para n = 1---> 1² = 1(2 - 1)(2 + 1)/3 <---> 1=1 (OK)

Vamos supor que seja válida para n = k ---> 1² + 3² + ... + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3

Logo, também será válida para n = k+1. Acompanhe:

1² + 3² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 + 4k² + 4k + 1 = (4n³ + 12n² + 11n + 3)/3 = (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

Comente qualquer dúvida

Att,

Cleyson007

Olá Cleyson, muito obrigado por postar essa solução... posso copiar exatamente do jeito que você postou que estará certo?

por **Cleyson007** » Qui Nov 22, 2012 15:11

Olá rbhorvath!

Sim, está correto :y:

Abraço,

Cleyson007

por **rbhorvath** » Sex Nov 23, 2012 16:53

Cleyson007 escreveu:Olá rbhorvath!

Sim, está correto

Abraço,

Cleyson007

Ok, MUITO OBRIGADO levarei pra faculdade hoje... espero que dê tudo certo ! :y:

por **M_Junior** » Sáb Abr 05, 2014 22:12

olá

Estou com dificulades em provar pelo metodo de indução este somátório.
$\sum_{k=0}^{n}({\frac{n}{k})2^k = 3^n$
Atenção, que o valor que esta dentro de ( ) não é uma fração.
Será que alguem me pode ajudar.
Obrigado
M_Junior