[Indução Matemática] Ajuda !

[rbhorvath]

Olá Pessoal, estou precisando muito da ajuda de vocês pois preciso resolver esse exercício porém não sei absolutamente nada, e se eu não fizer corro o risco de pegar DP na faculdade...

Prove que, para todo n inteiro positivo, é verdadeira a soma:

1^2+3^2+?+(2n-1)^n=n(2n-1)(2n+1)/3

OBS: O pedaço n(2n-1)(2n+1) é inteiro dividido por 3 (Não consegui formatar) e nao somente o (2n+1)

Se alguém puder me ajudar ficarei eternamente grato !

Obrigado !

[young_jedi]

veja o seguinte relações de equações



dai resolvendo a soma do primeiro parenteses de todas as equações



então



agora somando todas as equações nos teremos que os termos se cancelam do lado esquerdo da igualdade resultando em:





utilizando a soma de termos de uma PA nos resolvemos um dos parenteses do lado direito da igualdade





passando alguns termos para o outro lado da equação



expandindo a potencia de 3 e resolvendo algumas coisas











repare que oque esta dentro do parenteses do lado direito da igualdade é a soma procudara então isolando isto encontra-se a resposta

[rbhorvath]

young_jedi, MUITO OBRIGADO me ajudou DEMAIS... cara, sou tão ruim que até quando o exercício ta resolvido tenho dificuldade haha

A resposta então seria: 3.(1² + 3² + 5² + 7²....(2n-1)² ?

MUITO OBRIGADO!

[young_jedi]

é na ultima equação voce passa o 3 dividindo para o outro lado da expressão e ai voce chega justamente na relação que voce queria demonstrar.

[rbhorvath]

é na ultima equação voce passa o 3 dividindo para o outro lado da expressão e ai voce chega justamente na relação que voce queria demonstrar.

Ok, cara MUITO OBRIGADO por ceder um pouco do seu tempo pra me ajudar obrigado mesmo.

Abraços

[MarceloFantini]

Apesar de ser uma solução, ela não é por indução.

[rbhorvath]

Apesar de ser uma solução, ela não é por indução.

Marcelo, no momento só possuo essa solução que o nosso amigo young_jedi gentilmente resolveu para mim... se você quiser postar outra eu agradeço também !

[MarceloFantini]

Antes que eu me esqueça, não crie tópicos repetidos. Eu joguei o outro na lixeira.

Resolvi comentar que a solução não é por indução porque, apesar de não ter sido explícito no enunciado, você nomeou o tópico como Indução Matemática. Assim presumi que a idéia é resolver por indução. Você sabe quais são os passos para provar uma afirmação por indução?

[rbhorvath]

Antes que eu me esqueça, não crie tópicos repetidos. Eu joguei o outro na lixeira.

Resolvi comentar que a solução não é por indução porque, apesar de não ter sido explícito no enunciado, você nomeou o tópico como Indução Matemática. Assim presumi que a idéia é resolver por indução. Você sabe quais são os passos para provar uma afirmação por indução?

Então estamos aprendendo indução matemática porém no enunciado o professor não especificou o método que deveria ser resolvido portanto acho que não tem importância como é resolvido e sim o resultado...

Não sei como resolver esse exercício por indução matemática

[MarceloFantini]

Então estamos aprendendo indução matemática porém no enunciado o professor não especificou o método que deveria ser resolvido portanto acho que não tem importância como é resolvido e sim o resultado...

Não sei como resolver esse exercício por indução matemática

O resultado você já sabe, não são necessárias todas essas contas. A grande vantagem de demonstrações por indução é justamente provar resultados que não necessariamente tem uma dedução direta.

Para provar um resultado por indução, faça o seguinte:

1) Calcule os dois lados da expressão separadamente e mostre que são iguais.
2) Assuma que a proposição é válida para .
3) Mostre que o resultado é válido para .

Tente fazer o primeiro passo.

[Cleyson007]

Olá, bom dia a todos!

Resolvendo por indução:

Vamos provar que a igualdade é válida para n = 1---> 1² = 1(2 - 1)(2 + 1)/3 <---> 1=1 (OK)

Vamos supor que seja válida para n = k ---> 1² + 3² + ... + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3

Logo, também será válida para n = k+1. Acompanhe:

1² + 3² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 + 4k² + 4k + 1 = (4n³ + 12n² + 11n + 3)/3 = (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

Comente qualquer dúvida

Att,

Cleyson007

[rbhorvath]

Olá, bom dia a todos!

Resolvendo por indução:

Vamos provar que a igualdade é válida para n = 1---> 1² = 1(2 - 1)(2 + 1)/3 <---> 1=1 (OK)

Vamos supor que seja válida para n = k ---> 1² + 3² + ... + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3

Logo, também será válida para n = k+1. Acompanhe:

1² + 3² + ... + (2k - 1)² + (2k + 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 + 4k² + 4k + 1 = (4n³ + 12n² + 11n + 3)/3 = (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

Comente qualquer dúvida

Att,

Cleyson007

Olá Cleyson, muito obrigado por postar essa solução... posso copiar exatamente do jeito que você postou que estará certo?

[Cleyson007]

Olá rbhorvath!

Sim, está correto

Abraço,

Cleyson007

[rbhorvath]

Olá rbhorvath!

Sim, está correto

Abraço,

Cleyson007

Ok, MUITO OBRIGADO levarei pra faculdade hoje... espero que dê tudo certo !

[M_Junior]

olá

Estou com dificulades em provar pelo metodo de indução este somátório.

Atenção, que o valor que esta dentro de ( ) não é uma fração.
Será que alguem me pode ajudar.
Obrigado
M_Junior