[Inequação modular ] Mostre o erro .

por **e8group** » Seg Nov 12, 2012 21:45

Pessoal , deparei com uma questão elementar que me fez questionar sobre algo . Através de uma igualdade , nós elevamos ambos lados da igualdade ao quadrado e manteremos a igualdade verdadeira . Será mesmo ? Na minha opinião isto não vale para todos os casos .

Por exemplo , segue uma questão a seguir que o objetivo é identificar o erro na solução feito por um aluno .

Dada a inequação modular $\frac{|x|}{|x+1|} \geq -1$

Solução.

i) $x \neq 1$

ii) $|x+1| \frac{|x|}{|x+1|} \geq -1 |x+1| \implies |x| = - |x+1|$

iii) |x|^ 2 = (- |x + 1| )^2 = |x+1|^2

iv) Como

e

Segue que $x^2 \geq (x+ 1)^2 = x^2 +2x + 1$ que da como solução $- \frac{1}{2} \geq x$

Não tenho o gabarito , mas analisando acredito que o erro está na etapa ( iii) . Não estou conseguindo formula um argumento que prove o erro dele . Por favor , alguém descorda ? Se não , qual argumento você usaria ?

Entretanto quando eu começo desenvolver a questão desde o ponto inicial , eu consigo mostrar que todos valores reais exceto

satisfaz $\frac{|x|}{|x+1|} \geq -1$ . Como segue a segue os passos a seguir .

De fato , $\frac{|x|}{|x+1|} \geq -1$ . Pois ,

$\frac{|x|}{|x+1|} = abs \left(\frac{x}{x+1} \right ) = abs \left(\frac{x + 1 - 1}{x+1} \right) = abs \left(\frac{x + 1 }{x+1} - \frac{1}{x+1} \right) = abs \left(1 - \frac{1}{x+1} \right) \geq 0 > - 1 , x \neq - 1$ .

Quando $x > - 1 , \frac{|x|}{|x+1|} \in [0, +\infty)$ e quando $x < - 1 , \frac{|x|}{|x+1|} \in (1,+\infty)$ , ou seja para quaisquer $x \in \mathbb{R} \ \setminus \{-1\}$ temos que $\frac{|x|}{|x+1|} > -1$

OBS. Usei abs para modulo , por causa da configuração da barra .

por **e8group** » Seg Nov 12, 2012 21:51

OBS .:

e

. Isso é verdade , mas $( |x| ^2 )^(1/2) \geq ( |x+1| ^2 )^(1/2) \iff | |x| | \geq | | x+1 | | \iff |x| \geq | x+1 |$ .O que não é verdade para x diferente que - 1 .

por **MarceloFantini** » Seg Nov 12, 2012 22:11

Primeiro, $x \neq -1$ . Segundo, já está errado na segunda etapa. Teremos $|x| \geq - |x+1|$ , não igual. Tome x=0

. Então é claro que $0 \geq - |1| = -1$ , mas $0^2 \leq (-1)^2 = 1$ , não maior ou igual. Então o processo de elevar ao quadrado está errado.

Basta perceber que $|x| \geq 0$ , $|x+1| \geq 0$ e portanto $\frac{|x|}{|x+1|} \geq 0 \geq -1$ para todo $x \neq -1$ . Agora, existe outra forma, bem mais trabalhosa.

Para resolver, considere a função nos seguintes intervalos: x < -1

, $-1 < x \leq 0$ e x>0

.

No primeiro intervalo teremos $-x \geq -(-(x+1)) = x+1$ , daí $2x \leq -1$ e $x \geq \frac{-1}{2}$ . Como assumimos x < -1

, todo valor aqui é solução.

No segundo intervalo teremos $-x \geq -(x+1) = -x -1$ , que nos leva a $0 \geq -1$ que é verdadeiro sempre. Portanto $-1 < x \leq 0$ são soluções.

No terceiro e último intervalo teremos $x \geq -(x+1) = -x -1$ , que nos leva a $2x \geq -1$ e $x \geq \frac{-1}{2}$ . Como assumimos x > 0