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[Inequação modular ] Mostre o erro .

[Inequação modular ] Mostre o erro .

Mensagempor e8group » Seg Nov 12, 2012 21:45

Pessoal , deparei com uma questão elementar que me fez questionar sobre algo . Através de uma igualdade , nós elevamos ambos lados da igualdade ao quadrado e manteremos a igualdade verdadeira . Será mesmo ? Na minha opinião isto não vale para todos os casos .

Por exemplo , segue uma questão a seguir que o objetivo é identificar o erro na solução feito por um aluno .

Dada a inequação modular \frac{|x|}{|x+1|} \geq -1


Solução.

i) x \neq 1

ii) |x+1| \frac{|x|}{|x+1|} \geq -1 |x+1|   \implies   |x| =  - |x+1|

iii) |x|^ 2 = (- |x + 1| )^2  = |x+1|^2


iv) Como |x|^2 = x^2 e |x+1|^2 = (x+1)^2 Segue que x^2 \geq (x+ 1)^2 = x^2 +2x + 1 que da como solução - \frac{1}{2}  \geq x



Não tenho o gabarito , mas analisando acredito que o erro está na etapa ( iii) . Não estou conseguindo formula um argumento que prove o erro dele . Por favor , alguém descorda ? Se não , qual argumento você usaria ?


Entretanto quando eu começo desenvolver a questão desde o ponto inicial , eu consigo mostrar que todos valores reais exceto - 1 satisfaz \frac{|x|}{|x+1|} \geq -1 . Como segue a segue os passos a seguir .

De fato , \frac{|x|}{|x+1|} \geq -1 . Pois ,

\frac{|x|}{|x+1|} =  abs \left(\frac{x}{x+1} \right ) = abs  \left(\frac{x + 1 - 1}{x+1} \right) =  abs \left(\frac{x + 1 }{x+1} -  \frac{1}{x+1} \right) = abs \left(1 -  \frac{1}{x+1} \right) \geq 0 >  - 1   ,  x  \neq - 1 .

Quando x > - 1  , \frac{|x|}{|x+1|}  \in [0, +\infty) e quando x < - 1  , \frac{|x|}{|x+1|} \in (1,+\infty) , ou seja para quaisquer x \in \mathbb{R} \ \setminus \{-1\}temos que \frac{|x|}{|x+1|}  > -1


OBS. Usei abs para modulo , por causa da configuração da barra .
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Re: [Inequação modular ] Mostre o erro .

Mensagempor e8group » Seg Nov 12, 2012 21:51

OBS .: | x |^2 = x^2 e |x+ 1| ^2  = (x+1)^2 . Isso é verdade , mas ( |x| ^2 )^(1/2) \geq  ( |x+1| ^2 )^(1/2)       \iff  |  |x| | \geq  | | x+1 | |  \iff  |x|  \geq | x+1 | .O que não é verdade para x diferente que - 1 .
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Re: [Inequação modular ] Mostre o erro .

Mensagempor MarceloFantini » Seg Nov 12, 2012 22:11

Primeiro, x \neq -1. Segundo, já está errado na segunda etapa. Teremos |x| \geq - |x+1|, não igual. Tome x=0. Então é claro que 0 \geq - |1| = -1, mas 0^2 \leq (-1)^2 = 1, não maior ou igual. Então o processo de elevar ao quadrado está errado.

Basta perceber que |x| \geq 0, |x+1| \geq 0 e portanto \frac{|x|}{|x+1|} \geq 0 \geq -1 para todo x \neq -1. Agora, existe outra forma, bem mais trabalhosa.

Para resolver, considere a função nos seguintes intervalos: x < -1, -1 < x \leq 0 e x>0.

No primeiro intervalo teremos -x \geq -(-(x+1)) = x+1, daí 2x \leq -1 e x \geq \frac{-1}{2}. Como assumimos x < -1, todo valor aqui é solução.

No segundo intervalo teremos -x \geq -(x+1) = -x -1, que nos leva a 0 \geq -1 que é verdadeiro sempre. Portanto -1 < x \leq 0 são soluções.

No terceiro e último intervalo teremos x \geq -(x+1) = -x -1, que nos leva a 2x \geq -1 e x \geq \frac{-1}{2}. Como assumimos x > 0, todo valor é solução.
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Re: [Inequação modular ] Mostre o erro .

Mensagempor e8group » Seg Nov 12, 2012 22:27

Peço desculpas digitei errado na segunda etapa é maior ou igual , não igual . Agradeço muito , gostei muito da resolução .
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D