Ajuda Matemática • Exibir tópico - [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

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[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

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[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Set 23, 2012 11:46

Olá, sou novo aqui no Fórum e tenho uma questão da CEFET-PR que encontrei em uma prova que fiz e que não consigo resolver. Gostaria de pedir a ajuda de vocês.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x³ +px² + qx + 2 = 0, são respectivamente: |
|
a. 2 e 2
b. -1e 0
c. 1 e -1
d. 1/2 e 2
e. 1/2 e 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pensei em colocar o x em evidência e resolver a equação do segundo grau que aparece, mas não da certo. Também tentei usar as relações de Girard.

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:35

Lembre-se que se

é raíz, então

é raíz também. Substitua ambas e resolva o sistema.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:41

Tentei substituir mas não consegui.
Poderia mostrar como faço?
E gostaria de saber se existe outro jeito de responder, pois ainda não vi equações de terceiro grau, logo penso que tenha algum jeito de resolver esse exercício com equações de segundo grau ou algo do tipo.

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:47

Substituindo a primeira:

2(i)^3 +p(i)^2 +qi +2 = -p +qi +2-2i=0

2(i)^3 +p(i)^2 +qi +2 = -p +qi +2-2i=0

.

Substituindo a segunda:

2(-i)^3 + p(-i)^2 +q(-i) +2 = -p -qi +2 +2i=0

2(-i)^3 + p(-i)^2 +q(-i) +2 = -p -qi +2 +2i=0

.

Agora somando as duas temos -2p +4 = 0

-2p +4 = 0

e

p=2

. Substitua de volta em alguma delas e encontre

.

O único fato que você precisava saber é que raízes complexas aparecem aos pares: se um número complexo é raíz, seu conjugado também é.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:50

Entendi. Muito obrigado.
Só uma coisa. Sendo uma equação do terceiro grau, ela não deveria ter três raízes?

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:52

Ela tem mais uma raíz real, mas não é necessário saber qual é.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:53

Ok.
Teria algum jeito de fazer essa questão colocando o "x" em evidência?

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 14:00

Não, pois zero não é raíz. Além de tudo, para fatorar e encontrar

e

de outra forma você já deveria conhecer todas as raízes, e não dá pra saber qual é a outra raíz real sem saber os coeficientes.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Set 23, 2012 14:01

Ok. Obrigado. Acho que meu professor errou a mão então, pois ele não havia explicado que quando i é raiz, seu conjugado também é.

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Nov 11, 2012 11:17

Nessa questão, quando chego em:

-2i - p + qi +2 = 0

-2i + qi - p + 2 = 0

i (-2 + q) - p + 2 = 0

-2i - p + qi +2 = 0

-2i + qi - p + 2 = 0

i (-2 + q) - p + 2 = 0

Posso falar que

i (-2 + q)= 0

i (-2 + q)= 0

é a parte imaginária e que

-p + 2 = 0

-p + 2 = 0

é a parte real e igualar as duas a zero e depois achar os valores de p e q, da seguinte forma?

Att.,
Pedro

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por MrJuniorFerr » Dom Nov 11, 2012 12:26

Eu nunca estudei números complexos, mas eu não quero ficar com uma dúvida...
Marcelo, como você fez isso?

MarceloFantini escreveu:Substituindo a primeira:

Substituindo a segunda:

.

Não entendi como foi feito as substituições,os expoentes sumiram.

MrJuniorFerr: Colaborador Voluntário; Mensagens: 119; Registrado em: Qui Set 20, 2012 16:51; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia de Alimentos; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Dom Nov 11, 2012 12:34

O que ele fez foi usar as propriedades dos número complexos.

(i)^2 = -1

(i)^3 = -i

(i)^4 = 1

(i)^2 = -1

(i)^3 = -i

(i)^4 = 1

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Seg Nov 12, 2012 19:18

Alguém?

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por MarceloFantini » Seg Nov 12, 2012 19:22

Pedro, acredito que pode sim. Havia me esquecido desta possibilidade.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

por PedroCunha » Seg Nov 12, 2012 20:43

Que ótimo,

! Facilita muito.

Obrigado Marcelo.

PedroCunha: Usuário Ativo; Mensagens: 21; Registrado em: Dom Set 23, 2012 11:29; Formação Escolar: ENSINO MÉDIO; Andamento: cursando

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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
$2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*$
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois $2.1 \geq 1+1$
2°) Admitamos que $P(k), k \in \aleph*$ , seja verdadeira:
$2k \geq k+1$ (hipótese da indução)
e provemos que $2(k+1) \geq (K+1)+1$
Temos: (Nessa parte)
$2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1$

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

$2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}$

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

$2*1 \geq 1+1$

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que

seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1

k+1

.

$\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}$
$2k \geq k+1$

$\mbox{Vamos provar que:}$
$2(k+1) \geq (k+1)+1$

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: $2(k+1) \geq (k+1)+1$ , certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

$2k+2 \geq (k+1)+2$

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1)

2(k+1)

é $\geq$ a (k+1)+2

(k+1)+2

, e este por sua vez é sempre

que

(k+1)+1

, logo:

$2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}$

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D

:-D

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