[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

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[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

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[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 11:46

Olá, sou novo aqui no Fórum e tenho uma questão da CEFET-PR que encontrei em uma prova que fiz e que não consigo resolver. Gostaria de pedir a ajuda de vocês.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x³ +px² + qx + 2 = 0, são respectivamente: |
|
a. 2 e 2
b. -1e 0
c. 1 e -1
d. 1/2 e 2
e. 1/2 e 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pensei em colocar o x em evidência e resolver a equação do segundo grau que aparece, mas não da certo. Também tentei usar as relações de Girard.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:35

Lembre-se que se i é raíz, então -i é raíz também. Substitua ambas e resolva o sistema.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:41

Tentei substituir mas não consegui.
Poderia mostrar como faço?
E gostaria de saber se existe outro jeito de responder, pois ainda não vi equações de terceiro grau, logo penso que tenha algum jeito de resolver esse exercício com equações de segundo grau ou algo do tipo.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:47

Substituindo a primeira:

2(i)^3 +p(i)^2 +qi +2 = -p +qi +2-2i=0.

Substituindo a segunda:

2(-i)^3 + p(-i)^2 +q(-i) +2 = -p -qi +2 +2i=0.

Agora somando as duas temos -2p +4 = 0 e p=2. Substitua de volta em alguma delas e encontre q.

O único fato que você precisava saber é que raízes complexas aparecem aos pares: se um número complexo é raíz, seu conjugado também é.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:50

Entendi. Muito obrigado.
Só uma coisa. Sendo uma equação do terceiro grau, ela não deveria ter três raízes?
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:52

Ela tem mais uma raíz real, mas não é necessário saber qual é.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:53

Ok.
Teria algum jeito de fazer essa questão colocando o "x" em evidência?
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 14:00

Não, pois zero não é raíz. Além de tudo, para fatorar e encontrar p e q de outra forma você já deveria conhecer todas as raízes, e não dá pra saber qual é a outra raíz real sem saber os coeficientes.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 14:01

Ok. Obrigado. Acho que meu professor errou a mão então, pois ele não havia explicado que quando i é raiz, seu conjugado também é.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 11, 2012 11:17

Nessa questão, quando chego em:

-2i - p + qi +2 = 0 -2i + qi - p + 2 = 0 i (-2 + q) - p + 2 = 0

Posso falar que

i (-2 + q)= 0

é a parte imaginária e que

-p + 2 = 0

é a parte real e igualar as duas a zero e depois achar os valores de p e q, da seguinte forma?



Att.,
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Nov 11, 2012 12:26

Eu nunca estudei números complexos, mas eu não quero ficar com uma dúvida...
Marcelo, como você fez isso?

MarceloFantini escreveu:Substituindo a primeira:
2(i)^3 +p(i)^2 +qi +2 = -p +qi +2-2i=0

Substituindo a segunda:

2(-i)^3 + p(-i)^2 +q(-i) +2 = -p -qi +2 +2i=0.


Não entendi como foi feito as substituições,os expoentes sumiram.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 11, 2012 12:34

O que ele fez foi usar as propriedades dos número complexos.

(i)^2 = -1 (i)^3 = -i (i)^4 = 1
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Seg Nov 12, 2012 19:18

Alguém?
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Seg Nov 12, 2012 19:22

Pedro, acredito que pode sim. Havia me esquecido desta possibilidade.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Seg Nov 12, 2012 20:43

Que ótimo, :D! Facilita muito.

Obrigado Marcelo.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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