[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

[PedroCunha]

Olá, sou novo aqui no Fórum e tenho uma questão da CEFET-PR que encontrei em uma prova que fiz e que não consigo resolver. Gostaria de pedir a ajuda de vocês.

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Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x³ +px² + qx + 2 = 0, são respectivamente: |
|
a. 2 e 2
b. -1e 0
c. 1 e -1
d. 1/2 e 2
e. 1/2 e 0
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Pensei em colocar o x em evidência e resolver a equação do segundo grau que aparece, mas não da certo. Também tentei usar as relações de Girard.

[MarceloFantini]

Lembre-se que se é raíz, então é raíz também. Substitua ambas e resolva o sistema.

[PedroCunha]

Tentei substituir mas não consegui.
Poderia mostrar como faço?
E gostaria de saber se existe outro jeito de responder, pois ainda não vi equações de terceiro grau, logo penso que tenha algum jeito de resolver esse exercício com equações de segundo grau ou algo do tipo.

[MarceloFantini]

Substituindo a primeira:

.

Substituindo a segunda:

.

Agora somando as duas temos e . Substitua de volta em alguma delas e encontre .

O único fato que você precisava saber é que raízes complexas aparecem aos pares: se um número complexo é raíz, seu conjugado também é.

[PedroCunha]

Entendi. Muito obrigado.
Só uma coisa. Sendo uma equação do terceiro grau, ela não deveria ter três raízes?

[MarceloFantini]

Ela tem mais uma raíz real, mas não é necessário saber qual é.

[PedroCunha]

Ok.
Teria algum jeito de fazer essa questão colocando o "x" em evidência?

[MarceloFantini]

Não, pois zero não é raíz. Além de tudo, para fatorar e encontrar e de outra forma você já deveria conhecer todas as raízes, e não dá pra saber qual é a outra raíz real sem saber os coeficientes.

[PedroCunha]

Ok. Obrigado. Acho que meu professor errou a mão então, pois ele não havia explicado que quando i é raiz, seu conjugado também é.

[PedroCunha]

Nessa questão, quando chego em:



Posso falar que



é a parte imaginária e que



é a parte real e igualar as duas a zero e depois achar os valores de p e q, da seguinte forma?



Att.,
Pedro

[MrJuniorFerr]

Eu nunca estudei números complexos, mas eu não quero ficar com uma dúvida...
Marcelo, como você fez isso?

Substituindo a primeira:


Substituindo a segunda:

.

Não entendi como foi feito as substituições,os expoentes sumiram.

[PedroCunha]

O que ele fez foi usar as propriedades dos número complexos.

[PedroCunha]

Alguém?

[MarceloFantini]

Pedro, acredito que pode sim. Havia me esquecido desta possibilidade.

[PedroCunha]

Que ótimo, ! Facilita muito.

Obrigado Marcelo.