[Integrais] Dúvida exercício

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[Integrais] Dúvida exercício

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[Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 16:18

Estou com dúvida no seguinte exercício:

\int x^2\sqrt{1+x} dx = \int x^2(1+x)^\frac{1}{2} dx

É possível fazer pelo método de substituição?

Tentei da seguinte forma:

u=1+x

\frac{du}{dx}=1

Mas não tem como fazer o x^2 virar 1 porque eu teria que colocar valores de x dentro da integral...
Como resolvê-lo?
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 17:03

Não está errado. Note que se u = 1+x, então x = u-1, portanto x^2 = (u-1)^2. Daí você terá

\int x^2 \sqrt{1+x} \, dx = \int (u-1)^2 \cdot u^{\frac{1}{2}} \, du.

Esta é simples de resolver.
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 17:23

\int (u-1)^2 du = \frac{(u-1)^3}{3} + C ?
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 17:26

Não, você esqueceu de multiplicar por u^{\frac{1}{2}}. Expanda (u-1)^2, multiplique e aí sim terá a integral de um polinômio.
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 17:47

Ah sim, prossegui da seguinte forma:

\int (u^2-2u+1).u^\frac{1}{2} du

\int u^\frac{5}{2}-2u^\frac{3}{2}+u^\frac{1}{2} du

\frac{2}{7}u^\frac{7}{2}-\frac{4}{5}u^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}u^\frac{3}{2}+C

\frac{2}{7}(1+x)^\frac{7}{2}-\frac{4}{5}(1+x)^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}(1+x)^\frac{2}{3}+C

Se eu não errei nenhuma continha, é isso né?
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 17:54

Sim, está correto.
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 18:17

Por que será que de acordo com o Wolframalpha, possíveis resultados seriam esta imagem em anexo e...
Anexos
WolframAlpha--intx2sqrt1x--2012-10-28_1454.jpg
Resultado simplificado
WolframAlpha--intx2sqrt1x--2012-10-28_1454.jpg (5.75 KiB) Exibido 3980 vezes
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 18:18

e essa outra imagem em anexo.

Não estão muito diferentes do meu resultado?
Anexos
WolframAlpha--intx2sqrt1x--2012-10-28_1514_2.jpg
Outros possíveis resultados
WolframAlpha--intx2sqrt1x--2012-10-28_1514_2.jpg (4.7 KiB) Exibido 3978 vezes
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Re: [Integrais] Dúvida exercício

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 18:38

Vá no Wolfram, digite Expand[d], onde d é a expressão que encontrou. Verá que são iguais, ao expandir o resultado do Wolfram também.
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