[Aplicações Derivadas] Dúvida exercício

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 14:57

Estou com dúvida no seguinte exercício de taxas relacionadas:

Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água "flui" no tanque a uma taxa de 2m^3/min

. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m?

Tentei fazer da seguinte forma:
Como não sei a fórmula do cálculo do volume de um cone, pesquisei na internet e obtive $V(r)=\frac{1}{3}\pi.r^2.h$
Interpretando o enunciado, sei que $\frac{dv}{dt}=2m^3/min$ e eu quero $\frac{dh}{dt}$ .
Mesmo que com uma certa incerteza, cheguei na seguinte conclusão:

$\frac{dv}{dt}=\frac{dh}{dt}.\frac{dv}{dr}$

Como podem ver, a função $V(r)=\frac{1}{3}\pi.r^2.h$ está em função de r(raio) e h(altura), então por semelhança de triângulos, fiz o seguinte:

$\frac{4}{r}=\frac{16}{h}$

4h=16r

substituindo na função e arrumando, temos:

$V(r)= \frac{4\pi.r^3}{3}$

Derivando:

$V'(r)=4\pi.r^2$

Substituindo em $\frac{dv}{dt}=\frac{dh}{dt}.\frac{dv}{dr}$

$\frac{dv}{dt}=(2).(4\pi(4)^2)$

$\frac{dv}{dt}$ quando h=5, = $128\pi m/min$

No gabarito, o resultado deveria ser $1,28\pi m/min$ .

Se forem perceber, nem usei a informação da profundidade de 5m e acredito que meu erro está relacionado a isto...

Qual foi o meu erro?

Edit:

Me desculpe gente, fiquei fuçando no exercício e acabei copiando errado aqui...

na verdade pra dar tal resultado que deu, primeiramente eu havia feito a seguinte relação:

$\frac{dh}{dt}=\frac{dv}{dt}.\frac{dv}{dr}$

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 16:37

fala MrJuniorFerr

voce montou o exercicio certinho
minha primeira sugestão é a seguinte, como voce acho que

h=4r

eu sugiro que voce substitua o valor de r na equação, sendo assim ficaria

$V=\frac{1}{3}.\pi.\left(\frac{h}{4}\right)^2.h$

$V=\frac{\pi}{3}\frac{h^3}{16}$

derivando com relação a t

$V'(t)=\frac{\pi}{3}.\frac{3h^2}{16}.\frac{dh}{dt}$

$V'(t)=\frac{h^2.\pi}{16}.\frac{dh}{dt}$

substituindo os valore de V'(t)=2

e h=5 voce encontra $\frac{dh}{dt}$

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 19:30

E aí Jedi, blz?
Não sei se você percebeu, mas eu fiquei fuçando na minha resolução antes de mandar a minha dúvida pra cá e acabei colocando errado aqui... confira no meu 1º post, coloquei um "edit ali embaixo.
Como vou saber se o que eu quero, fica na multiplicação ou do outro lado da igualdade?
Fiz como vc disse e não deu certo Jedi :(

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 20:04

na verdade oque voce utiliza nesse caso é a regra da cadeia

$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dh}.\frac{dh}{dt}$

como no exercicio ele da a variação do volume pelo tempo, então voce tem que

$\frac{dv}{dt}=2$

e o que voce quer encontrar é a taxa de variação da altura

$\frac{dh}{dt}$

substituindo na derivada encontrada no meu ultimo post

$\frac{dv}{dt}=\frac{h^2.\pi}{16}.\frac{dh}{dt}$

$2=\frac{5^2\pi}{16}.\frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt}=\frac{32}{25\pi}$

$\frac{dh}{dt}=\frac{1,28}{\pi}$

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 20:09

Jedi, seu resultado deu $\frac{32}{25\pi}$ mas o gabarito deu $\frac{32\pi}{25}$ . Não são diferentes?

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 20:18

realmente são diferentes, estava dando uma revisada no calculo, mais não encontrei nenhum erro, como são similares talvez possa ter algum erro de digitação no gabarito, se tiver como voce dar uma conferida nisso...

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 20:24

Capaz de ser isso mesmo Jedi. Por isso que quebrei tanto a minha cabeça huahuahua
Não pensei na hipótese de ser um erro no gabarito pelo fato da professora já ser experiente e usar este mesmo material/lista nas turmas anteriores... mas enfim, amanhã verifico com ela em sua aula.
Obrigadão Jedi!