Divisão de polinômios

por **Malorientado** » Qui Out 04, 2012 22:42

Não entendi como resolver o exercício por favor me ajudem:
Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio p(x) = 2x³ + mx² + nx - 1 por h(x) = 2x²- x - 1.

por **Russman** » Sex Out 05, 2012 00:25

Quando dividimos um polinômio P(x)

por um

obtemos outro Q(x)

(o quociente e sobre um resto R(x)

.

Ou seja, P(x) = Q(x) . W(x) + R(x)

. Convenientemente, a divisão será dita EXATA se R(x) = 0

para todo

, isto é, o resto for identicamente nulo assim como na divisão de números inteiros.

Como dividiremos um polinômio de 3° grau por um de 2° é possível mostrar que o quociente será do 1° grau. Assim, Q(x) = ax+b

e o resto também o deve ser!

Logo

2x^3 + mx^2 - 1 = (ax+b)(2x^2 - x - 1) + (cx+d)

2x^3 + mx^2 +nx - 1 = 2ax^3 + (2b-a)x^2+(-a-b+c)x-b+d

de onde, por igualdade de polinomios,

$\left\{\begin{matrix} 2a=2\\ 2b-a=m\\ -a-b+c=n\\ -b+d=-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=\frac{1}{2}(m+a) = \frac{1}{2}(m+1)\\ c=n+a+b = n+m+\frac{3}{2}\\ d=-1+b = \frac{1}{2}(m-1) \end{matrix}\right.$

Como R(x) = 0

, então

. Assim,

$\left\{\begin{matrix} c=0\\ d=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n+m+\frac{3}{2}=0\\ \frac{1}{2}(m-1)=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\\ n = - \frac{3}{2}-1 = -\frac{5}{2} \end{matrix}\right.$

por **Malorientado** » Sex Out 05, 2012 01:36

Então o modo de resolver exercicios desse tipo, quando é procurado um coeficiente para satisfazer uma condição, é fazer p(x)= q(x) . divisor(x) + r(x), e depois igualar os coeficientes? E se for por exemplo um polinômio de grau 5 dividido por um de grau 2, como deve ser q(x) e r(x)? Qual é a regra para criar q(x) e r(x) para resolver?

por **Russman** » Sex Out 05, 2012 01:54

Essa forma que eu te mostrei é uma das mais interessantes, na minha opinião.

Se você dividir um polinômio de grau

por um de grau

o quociente será sempre de grau n-m

. E eu acredito que o grau do resto será do mesmo grau que o quociente.

por **LuizAquino** » Sex Out 05, 2012 11:07

Malorientado escreveu:Não entendi como resolver o exercício por favor me ajudem:
Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio p(x) = 2x³ + mx² + nx - 1 por h(x) = 2x²- x - 1.

Russman escreveu:Quando dividimos um polinômio por um obtemos outro (o quociente e sobre um resto .

Ou seja, . Convenientemente, a divisão será dita EXATA se para todo , isto é, o resto for identicamente nulo assim como na divisão de números inteiros.

Como dividiremos um polinômio de 3° grau por um de 2° é possível mostrar que o quociente será do 1° grau. Assim, e o resto também o deve ser!

Logo

de onde, por igualdade de polinomios,

$\left\{\begin{matrix} 2a=2\\ 2b-a=m\\ -a-b+c=n\\ -b+d=-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=\frac{1}{2}(m+a) = \frac{1}{2}(m+1)\\ c=n+a+b = n+m+\frac{3}{2}\\ d=-1+b = \frac{1}{2}(m-1) \end{matrix}\right.$

Como , então . Assim,

$\left\{\begin{matrix} c=0\\ d=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n+m+\frac{3}{2}=0\\ \frac{1}{2}(m-1)=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\\ n = - \frac{3}{2}-1 = -\frac{5}{2} \end{matrix}\right.$

Há um pequeno erro na terceira linha do segundo sistema. Ao invés de $c=n+a+b = n+m+\frac{3}{2}$ , o coreto seria $c=n+a+b = n+\frac{m}{2}+\frac{3}{2}$ . Efetuando essa correção, obtemos que o resultado final será m = 1 e n = -2.

Vejamos agora uma outra forma de resolver.

Como p(x) deve ser divisível por h(x) (ou seja, a divisão de p(x) por h(x) deve ser exata), temos que o resto dessa divisão deve ser zero. Desse modo, ao dividir p(x) por h(x) acharemos um quociente q(x) e um resto r(x) = 0. Poderemos então dizer que p(x) = q(x)h(x) (já que r(x) = 0).

Note que conhecemos a expressão de h(x). Em particular, sabemos que x = 1 e x = -1/2 são as raízes de h(x). Ou seja, h(1) = 0 e h(-1/2) = 0.

Usando essas informações, podemos montar o seguinte sistema:

$\begin{cases} p(1) = q(1)h(1) \\ \\ p\left(-\dfrac{1}{2}\right) = q\left(-\dfrac{1}{2}\right)h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \end{cases} \implies \begin{cases} 2 + m + n - 1 = 0 \\ \\ -\dfrac{1}{4} + \dfrac{m}{4} - \dfrac{n}{2} - 1 = 0 \end{cases}$

Note que não interessa o fato de que não conhecemos quanto vale q(1) e q(-1/2). Como sabemos que h(1) = 0 e h(-1/2) = 0, então podemos afirmar que q(1)h(1) = 0 e q(-1/2)h(-1/2) = 0.

Arrumando ainda mais o sistema:

$\begin{cases} m + n = -1 \\ m - 2n = 5 \end{cases}$

Resolvendo então esse sistema, obtemos m = 1 e n = -2.

Russman escreveu:Se você dividir um polinômio de grau n por um de grau m o quociente será sempre de grau n-m. E eu acredito que o grau do resto será do mesmo grau que o quociente.

O grau do resto pode ser maior, menor ou igual do que o grau do quociente.

Por exemplo, divida p(x) = x^6 + x^4 + x^3 + x^2 + 1

por

. Nesse caso, você perceberá que o grau do resto será maior do que o grau do quociente.

Já no caso do exercício resolvido nesse tópico, temos que o grau do resto é menor do que o grau do quociente.

Por fim, divida p(x) = x^3 + x^2 + 2x + 1

por

. Nesse caso, você perceberá que o grau do resto será igual ao grau do quociente.

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