[Curva S] igualando 2 funções

por **Joao Petrocelle** » Sex Set 14, 2012 09:13

Agradeço pela oportunidade.
Introdução
Trabalho com planejamento da Construção Civil e é comum utilizarmos muito o conceito de transformar Cronogramas de Obra em Curvas S do sistema cartesiano. Dividimos o eixo X em períodos iguais da Obra, como por exemplo os meses de sua duração, No Y inserimos as %s acumuladas de cada ponto. Fazemos o acompanhamento do cronograma por atividade e vamos lançando nas datas específicas as %s reais relativas ao cumprimento de cada tarefa, o somatório nos dá uma % total realizada que comparamos com a prevista. Através desta fica fácil visualizar graficamente o acompanhamento do previsto x realizado ( 2 curvas) e medir atrasos de obra. Portanto minha dúvida tem a ver com Curvas S. O Objetivo final é manipular a equação da Curva S através de duas incógnitas de forma que graficamente podemos nos aproximar de uma curva S perfeita. A hipótese é a de que um cronograma inicial de obra (previsto) bem equilibrado tem o formato de um S graficamente bem arredondado e sem subidas bruscas.
Construção do Enunciado
Criei no sistema de coordenadas cartesiano ( através do programa excell) 2 curvas em formato de S, cada uma com fórmulas diferentes e agora estou tentando igualá-las. Cada uma destas curvas tem como pares ordenados 22 períodos em X e 22 %s acumuladas em Y.
A primeira é a Curva S é a perfeita representada aqui pela função sigmoidal. A sigmoidal só funciona bem entre os valores -6 e 6.Portanto dividi 6/13 = 0,4615 (com 13 casas depois da virgula) e fui do 4,615 ao - 5,0769 passando pelo 0 para os valores de x. Fórmula: 1/1 $y=\frac{1}{1+{e}^{-x}}$ . Os pontos desta função são pt1(4,615;0,98%),pt2(4,1513;1,55%) .... pt 11(0;50%) ... pt 22(-5,07692;99,38%)
A segunda curva é a teórica que virá de um cronograma real. Esta tem duas incógnitas e é uma função que se usa no ramo para a construção da curva S. $y=1-[{1-{(\frac{n}{N}})^{logI}]^{s}$
Onde y é % acumulada , n é o valor do período (no caso um número de 1 a 22), N é o número total de períodos (22), I é um coeficiente que dá forma a curva S ( acredito que seja no primeiro trecho?) e S idem (com relação a segunda curvatura???).
Depois de muitas tentativas gráficas inseri os valores de I = 700 log I = 2,8450 e s = 5. As duas curvas estão próximas mas não estão iguais.
Os pontos foram pt1 (1;0,08%), pt2(2;0,54%) ...pt 11(11;52,73%) ....pt 20 ( 20;99,92%)pt 21(21,100%) pt 22(22,100%)
Dúvida - Igualando duas equações
Uma equação tem uma incógnita. A outra tem duas. Utilizando o ponto 11 em ambas as equações cheguei em $1={0,5}^{\frac{1}{S}}+{0,5}^{logI}$ . E não saio disso. E também não tenho absoluta certeza se meu desenvolvimento está correto.
Estou tentando fixar o s em um valor fixo, como por exemplo 5 e tentar descobri um I e logI válido que iguale as % em todos os 22 pontos.Um a curva ficaria portanto igual a outra e aprenderia a manipular graficamente a Curva S.
Posso de bom grado fornecer o arquivo excell. Acredito será mais fácil.
Espero ter sido claro.
Muito Obrigado.
João Petrocelle -
jpetrocelle@gmail.com

por **young_jedi** » Qua Out 03, 2012 11:24

fala João Petrocelle, dei uma olhada como voce me falou aqui no seu poste

fiz algumas simulações e achei os seguintes valores

s=5,974

logI=3,195

com esses valores cheguei nesse grafico feito no excel

: simulacao

a linha em vermelho é a sigmoide perfeita
e azul é a equação exponencial que voce postou com este valores para s e logI que eu coloquei
esse foi o maximo que consegui aproximar as duas curvas, não sei se é bem isso que voce queria mais ta ai.

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 12:51

Muito obrigado young jedi. E isso mesmo que queria. Mas na verdade queria igualar . algo que parece nao ser possivel.

Eu vou postar um novo excell com novos valores, pois na epoca que fiz o post percebi um errinho . Vc poderia gerar novamente outros valores para duas incognitas?

Depois vc poderia me mostrar o desenvolvimento?

por **young_jedi** » Qua Out 03, 2012 13:00

igualar ela em todos os pontos realmente é impossivel, mais da pra aproxima-las bastante, a melhor aproximação que eu encontrei foi essa

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 17:20

Jedi por favor veja o jpeg com os valores
para tentar igualar ainda mais vou te dar 24 pontos.
equações abaixo. por gentileza me informe s e log I e se possível me fale qual foi o desenvolvimento. irei mandar tb o grafico

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 1 ]

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 17:32

equacoes $ponto 1: {99,59}^{1/s}=1-(\left{\frac{1}{24}})^{logI}\right ponto 2: {99,33}^{1/s}=1-(\left{\frac{2}{24}})^{logI}\right ponto 3: {98,90}^{1/s}=1-(\left{\frac{3}{24}})^{logI}\right ponto 4: {98,20}^{1/s}=1-(\left{\frac{4}{24}})^{logI}\right ponto 5: {97,07}^{1/s}=1-(\left{\frac{5}{24}})^{logI}\right ponto 6: {95,26}^{1/s}=1-(\left{\frac{6}{24}})^{logI}\right ponto 7: {92,41}^{1/s}=1-(\left{\frac{7}{24}})^{logI}\right$

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 17:37

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 1 ]

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 17:39

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 17:39

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 17:41

grafico para jedi

por **young_jedi** » Qua Out 03, 2012 17:58

Então joao petrocelle com os novos valores que voce me passou eu encontrei

s=9,7

dai consegui o seguinte grafico

: simulacao

foi os melhores valores que consegui
os metodos que eu utilizei para chegar nesses valores nao foram os convencionais
eu utilizei um programa chamado matlab e ai fui simulando para diversos valores de s e logI tentando ter o menor erro possivel
ai cheguei nesses valores

por **Joao Petrocelle** » Qua Out 03, 2012 18:26

Obrigado Jedi, tá otimo... a diferença entre os pontos varia pouco a maioria é menor que 2 %

jajá vou parar de encher o saco...rss

mas mais uma perguntinha...
veja a tabela com os valores de S e logI. A diferença é maior na trecho final e menor no começo. A coisa toda não dá certo porque a formula da curva S não consegue formar uma curva perfeita ( quero com isso dizer que ela não forma o trecho inferior igual ao trecho superior , considerando o ponto 12 como centro). Acho que tem a ver com elevar a Log I e depois elevar de novo a S que gera esse "erro". Vc saberia alterar a formula mantendo duas incognitas ( sei lá mudando a posição do S) para que ela pudesse vir a gerar uma curva perfeita?
Resumindo precisaria de uma formula que utiza duas incognitas e gera um s perfeito. Como a da sigmoide mas a sigmoide só tem uma incognita.
Agora vai um chute se base: Acho que seria um polinomio do segundo grau talvez... do tipo y = ax2 + bx + c

ponto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
sigm 0,41% 0,67% 1,10% 1,80% 2,93% 4,74% 7,59% 11,92% 18,24% 26,89% 37,75%
sigm 0,00% 0,06% 0,29% 0,89% 2,12% 4,27% 7,66% 12,59% 19,26% 27,71% 37,76%
dif 0,40% 0,61% 0,81% 0,91% 0,81% 0,47% -0,08% -0,67% -1,02% -0,82% -0,01%

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
50,00% 62,25% 73,11% 81,76% 88,08% 92,41% 95,26% 97,07% 98,20% 98,90% 99,33% 99,59%
48,96% 60,59% 71,76% 81,56% 89,29% 94,65% 97,81% 99,32% 99,86% 99,98% 100,00% 100,00%
1,04% 1,66% 1,35% 0,20% -1,21% -2,24% -2,55% -2,25% -1,66% -1,08% -0,67% -0,41%

por **young_jedi** » Qua Out 03, 2012 21:13

Joao petrocelle, desculpa não ter respondido antes é que eu tava meio atarefado.
Então da para aproximar de uma curva do segundo grau só que não fica uma aproximação muito boa
e tambem a equação tem tres parametros

a b e c

voce esta querendo uma equação com dois parametros eu sugeria a propria sigmoide

fazendo uma alteração

$y=\frac{1}{1+e^{a-n.\frac{B}{N}}}$

onde nesse caso a=6, B=12 e N=24

eu não sei se sua equação tem que seguir alguma regra ou se ela é baseada em alguma formula
se não for da pra usar isso ai.