[Derivada] Quociente

por **Paraujo** » Dom Set 23, 2012 21:15

Boa noite Pessoal,

Estou relembrando alguns conceitos de derivada e precisava desenvolver a derivada abaixo para um experimento físico:

$\frac{\partial q}{\partial\theta} = \sqrt[]{\frac{{(sen \theta)}^{3}}{cos \theta}}$

Obrigado pela ajuda!

por **young_jedi** » Dom Set 23, 2012 21:25

você quer encontrar a função $q(\theta)$ apartir da equação?

por **Russman** » Dom Set 23, 2012 21:46

Isto é uma equação diferencial parcial do tipo

$\frac{\partial q }{\partial \theta } = f(\theta )$

cuja solução é

$q(\theta ,x_1,x_2,...,x_n) = \int_{\theta _1}^{\theta _2}f(\theta )d\theta + g(x_1,x_2,...,x_n)$

onde x_i

é uma possível variável de dependência de

.

por **Paraujo** » Dom Set 23, 2012 21:49

Na verdade essa é uma derivada parcial de um cálculo de propagação de erro, a minha dúvida está no desenvolvimento dela, não me recordo como resolver um derivada desse tipo.

Obrigado!

por **Russman** » Dom Set 23, 2012 22:28

Você qer derivar a função

$\sqrt{\frac{(sin(\theta ))^3}{cos(\theta )}}$

, é isso?

por **Paraujo** » Dom Set 23, 2012 23:31

Isso mesmo... Não me recordo a tratativa em casos onde temos funções dentro de uma raiz e etc...

por **Russman** » Seg Set 24, 2012 01:16

Basta aplicar as regras da Cadeia e do Quociente.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }\sqrt{\frac{(sin(\theta )^3)}{cos(\theta )}} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }\frac{\sqrt{sin(\theta )^3}}{\sqrt{cos(\theta )}}=\frac{\sqrt{cos(\theta )}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }\sqrt{sin(\theta )^3}-\sqrt{sin(\theta )^3}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }\sqrt{cos(\theta )}}{\left | cos(\theta ) \right |}$

Agora, para funções do tipo

$f(x) = \sqrt{u(x)}$

temos

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2\sqrt{u}}.\left (\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x} \right )$

Basta calcular as derivadas das funções raízes que aparecem e substituir na fórmula.

por **Paraujo** » Ter Set 25, 2012 11:12

Obrigado Russman!!

Estou meio confuso no meu resultado, a fórmula é uma multiplicação de uma constante (positiva) pelo rsultado dessa derivada, cheguei num resultado negativo, e é nesse ponto que achei estranho, nesse contexto minha variação seria negativa... Você pode conferir essa derivada abaixo por favor?

$\frac{\partial}{\partial\theta} \frac{{(sen\theta)}^{3}}{cos\theta} = \frac{-{(sen\theta)}^{4}-3{(sen\theta)}^{2}{(cos\theta)}^{2}}{{cos\theta}^{2}}$

Abraço

Paulo

por **young_jedi** » Ter Set 25, 2012 11:49

pela regra da derivada do quociente

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)&=&\frac{f'.g-fg'}{g^2}$

no entanto voce inverteu a ordem
por isso sua derivada deu com o sinal invertido