Séries

por **Guilherme Carvalho** » Seg Set 17, 2012 22:50

Não estou conseguindo descobrir se esta série converge ou não $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[]{n+2}}{2{n}^{2}+n+1}$
tentei fazer pelo testa da comparação no limite, comparei com a série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{n}^{2}}$ , mas acabei não consegui

por **MarceloFantini** » Ter Set 18, 2012 00:38

Segundo o Wolfram ela converge, mas não faz os passos. Tentei várias vezes mas também não consegui.

por **Renato_RJ** » Ter Set 18, 2012 03:03

Boa noite amigos !!!

Eu acho que consegui provar que a série converge usando o teste de Comparação no Limite... Veja:

A parte dominante do numerador é $\sqrt{n}$ enquanto que a parte dominante no denominador é 2n^2

, então façamos:

$a_n = \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2 + n + 1} \quad \textrm{e} \quad b_n = \frac{\sqrt{n}}{2n^2} = \frac{1}{2 \sqrt{n^3}}$

O teste de Comparação no Limte é enunciado da seguinte forma:

Suponha que $\sum a_n$ e $\sum b_n$ sejam duas séries com termos positivos. Se

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$

Onde c é um número finito e c > 0

, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.

Então façamos:

$\frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \cdot 2 \sqrt{n^3} \Rightarrow \frac{2 \sqrt{n^4 + 2n^3}}{2n^2+n+1}$

Colocando n^4

em evidência dentro da raiz e 2n^2

em evidência no denominador, teremos:

$\frac{2n^2 \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{2n^2 \cdot (1 + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n^2})}$

O que nos dá:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{1 + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n^2}} = 1$

Como $b_n = \frac{1}{2 \sqrt{n^3} }$ é uma p-série com $p = \frac{3}{2} > 1$ , então b_n

converge, e como c = 1 > 0 então a série dada converge pelo teste de Comparação no Limte....

Só para lembrar, uma p-série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ é convergente se p > 1