[Lei dos Senos] aplicação em um triângulo qualquer...Dúvida!

por **TOPO_PAIM** » Sex Ago 17, 2012 01:45

Dado um triângulo qualquer, com suas dimensões: b=529,42; c=946,72 e ângulo B=33º03'56". Calcular os restantes dos ângulos internos (A e C) e o valor do lado a.

: Questão a ser resolvida

Tentei aplicar a lei dos senos: $\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$ e a lei dos cossenos: a² =b² +c² -2.b.c.cosA

para descobrir a distancia do lado a.

Ja que possuo 2 lados e 1 ângulo, a formula cabível seria a lei dos cossenos que ficaria assim: b²=a²+c²-2.a.c.cosB

529,42²=a²+946,72²-2.a.946,72.cos33º03'56"

Mas não foi possível o calculo.

E para calculo de ângulos é aplicável a formula: $A=ArcCos\left(\frac{ab² +ac² -bc²}{2.ab.ac}\right)$

Acredito que o enunciado da questão informe algum dos elementos errado.
Vejo que para esse calculo ser possível eu deveria saber 2 lados do triangulo e o angulo que é dado pela vértice formada por esses dois lados, nessa questão seria o angulo A,mostrado na figura, e não o B, que é o existente.

Espero ajuda, muito obrigado.

por **Russman** » Sex Ago 17, 2012 01:59

O seu problema é determinar a terceira medida de um triângulo sabendo apenas duas medidas e um ângulo interno.

Suponhamos que os lados

e

do triângulo sejam conhecidos, bem como o angulo interno

oposto ao lado de medida

. Assim, do Teorema dos Cossenos, temos

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos(B)

Como os valores

,

e

são conhecido você fica com uma equação de 2° grau em

bem simples de resolver!

Quanto aos outros ângulos: Lembre-se que A+B+C = 180

. Assim, como

é conhecido basta determinarmos ou

ou

que o restante fica explicito!

Optarei por deteminar

. Uma maneira é usar novamente o TeoremaDosCossenos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos(A)

de onde você pode facilmente isolar

uma vez que a,b

e

são conhecidos!.

Calculado o valor de

, basta tomar C= 180 - B - A

e seu problema esta solucionado!

por **TOPO_PAIM** » Sex Ago 17, 2012 12:34

Russman escreveu:O seu problema é determinar a terceira medida de um triângulo sabendo apenas duas medidas e um ângulo interno.

Suponhamos que os lados e do triângulo sejam conhecidos, bem como o angulo interno oposto ao lado de medida . Assim, do Teorema dos Cossenos, temos

Como os valores , e são conhecido você fica com uma equação de 2° grau em bem simples de resolver!

Quanto aos outros ângulos: Lembre-se que . Assim, como é conhecido basta determinarmos ou ou que o restante fica explicito!

Optarei por deteminar . Uma maneira é usar novamente o TeoremaDosCossenos:

de onde você pode facilmente isolar uma vez que e são conhecidos!.

Calculado o valor de , basta tomar e seu problema esta solucionado!

Caro amigo Russman, obrigado pela ajuda. Mas mesmo assim estou com dificuldade no desenvolvimento e na aplicação do teorema dos cossenos para descobrir o valor do lado "a"! Seria possível você mostrar desenvolvimento para mim?
Enquanto aos a resultados dos ângulos esta tranquilo.
Muito Obrigado

por **Russman** » Sex Ago 17, 2012 16:12

Sim.

Uma equação de 2° grau geral é da forma ax^2+bx+c=0

e, como você bem deve saber, a solução se apresenta como $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Observe que reescrevendo a equação de forma que

$b^2=a^2+c^2-2ac.cos(B)\Rightarrow a^2+(-2c.cos(B))a +(c^2-b^2)=0$

temos , comparando com a forma geral da equação de 2° grau,

$\left\{\begin{matrix} x\rightarrow a\\ a\rightarrow 1\\ b\rightarrow -2c.cos(B)\\ c\rightarrow c^2-b^2 \end{matrix}\right.$

Ajudou?