Dúvida - números complexos

por **Danilo** » Ter Ago 07, 2012 14:51

Empacado em um exercício !

Se z1 e z2 são números complexos, z1+z2 e z1 $\cdot$ z2 são ambos reais, o que se pode afirmar sobre z1 e z2?

Bom, sei que a resposta é z1= conjugado de z2 (eu não encontrei o símbolo para conjugado) ou z1 e z2 são reais, mas eu não entendi porquê.

Sei que para que os números complexos sejam reais, a parte imaginária tem de ser igual a zero. Chamando de z1 = a+bi e o conjugado de z2 = a-bi (já que z e o conjugado de z2 são iguais) nao vejo como a parte imaginária seja igual a zero, pois fazendo z1 = conjugado de z2 temos que (ao meu ver) a+bi = a-bi então a parte imaginária não se anula. Onde estou errando?

por **e8group** » Ter Ago 07, 2012 16:18

Não sei se é o procedimento correto , mas vamos lá .

Sejam z_3

e

,onde :

$z_4 = z_1 \cdot z_2$

Mas como sabemos as Operações Aritméticas acima denota um número real ,assim utilizando a definição descrevemos que ,

z_3 = z_1^* +z_2^*

$z_4 = z_1^*\cdot z_2^*$

onde a notação( * ) denota o conjugado .

Agora sejam , z_ 1 e z_ 2 dos seguintes formatos ,

z_1 = a+bi

Assim obtemos a sguinte relação ,

$\begin{cases} a+x +i(b+y) = a+x - i(b+y) \\ (a+bi)(x+yi) =(a-bi)(x-yi) \end{cases}$

logo você chegara em Re(z_1) = Re(z_2)

e

.Portanto ,

z_1 = a + bi

e

ou seja ,

por **e8group** » Ter Ago 07, 2012 17:01

OBS.: Para o comando do conjugado ,você pode utilizar

Código: Selecionar todos: \overline{z}

.Resultado :

$\overline{z}$ .

Fonte : http://beshapiro.com/math462/Latex-Simple-Intro.pdf .

por **Russman** » Ter Ago 07, 2012 19:17

Basta você tomar, por exemplo

$\left\{\begin{matrix} z_1=a+bi\\ z_2=c+di \end{matrix}\right.$

e efetuar

$\left\{\begin{matrix} z_1=a+bi\\ z_2=c+di \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z_1+z_2 = (a+c) +(b+d)i\\ z_1.z_2 = (ac-db) + (ad+bc)i \end{matrix}\right.$

Como ambos são reais, então

$\left\{\begin{matrix} b+d=0\\ ad+bc=0 \end{matrix}\right.$ .

Da primeira, d=-b

e , então $-ab+bc=0 \Rightarrow b(-a+c)=0\Rightarrow c=a$ ( fazendo a substituição) pois

tem de ser diferente de zero para z_1

ser complexo.

Logo,

$z_2 = a-bi = \overline{z_1}$ .

por **LuizAquino** » Qua Ago 08, 2012 11:38

Danilo escreveu:Empacado em um exercício !

Se z1 e z2 são números complexos, z1+z2 e z1 $\cdot$ z2 são ambos reais, o que se pode afirmar sobre z1 e z2?

Bom, sei que a resposta é z1= conjugado de z2 (eu não encontrei o símbolo para conjugado) ou z1 e z2 são reais, mas eu não entendi porquê.

Sei que para que os números complexos sejam reais, a parte imaginária tem de ser igual a zero. Chamando de z1 = a+bi e o conjugado de z2 = a-bi (já que z e o conjugado de z2 são iguais) nao vejo como a parte imaginária seja igual a zero, pois fazendo z1 = conjugado de z2 temos que (ao meu ver) a+bi = a-bi então a parte imaginária não se anula. Onde estou errando?

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