Descobrindo a Expressão Algébrica olhando apenas o gráfico

por **Ricardogferreira** » Seg Jul 23, 2012 21:19

Boa noite.

Não tenho dificuldade em representar graficamente uma função analisando a sua expressão algébrica. No entanto, não consigo executar em sentido contrário, ou seja, olhando o gráfico para descobrir a expressão.

Agradecia ajuda nos seguintes exemplos, por forma a deixar de ter dificuldades neste tipo de exercício (estão em causa funções quadráticas):

dados fornecidos no gráfico A (concavidade para baixo) - Xv: -1 Raízes: -2 e 0; Yv: 2 - Solução: f(x) = -2 (x+1)^2 + 2
dados fornecidos no gráfico B (concavidade para cima)- Xv: 2; Yv: 1; Gráfico corta o eixo Y em 3, no sentido decrescente - Solução: g(x) = 1/2 (x-2)^2 + 1
dados fornecidos no gráfico C (concavidade para cima)- Raízes: -1 e 3; Gráfico corta o eixo Y em -2, no sentido decrescente - Solução: h(x) = 2/3 (x-1)^2 - 8/3

Volto a referir que consigo construir o gráfico com os dados referentes à expressão algébrica. O que não consigo fazer é olhar para o gráfico daquelas funções e escrever a referida expressão.

Muito obrigado.
Ricardo

por **MarceloFantini** » Seg Jul 23, 2012 23:04

Mostre os gráficos, por favor. É importante notar também que, dado um gráfico qualquer, não é possível inferir que regra que gerou tal gráfico, apenas em casos muito específicos, como parábolas.

por **Ricardogferreira** » Qui Jul 26, 2012 21:03

Infelizmente não consegui anexar a imagem (não permite formato pdf). Os gráficos são gráficos de parábolas. O exercício vem no meu manual. Se puder me ajudar com essa informação, ótimo. Se não for possível, agradeço também.

por **DanielFerreira** » Qui Jul 26, 2012 21:59

Ricardo,
seja bem-vindo!
Resolverei o "gráfico A" tentando ser o mais claro possível, mas se ficar com dúvidas, não exite em perguntar, ok?!

Quanto as fórmulas:

Sabemos que uma função quadrática é dada por $\boxed{f(x) = ax^2 + bx + c}$

Sabemos também que $\boxed{X_v = - \frac{b}{2a}}$ e $\boxed{Y_v = - \frac{\Delta}{4a}}$

Quanto as conclusões:

Se as concavidade está voltada para baixo, podemos concluir que $\boxed{a < 0}$

Uma das raízes é nula, então, temos que $\boxed{f(x) = ax^2 + bx}$

Logo, $\boxed{c = 0}$

Quanto aos cálculos:

I)

$\boxed{X_v = - \frac{b}{2a}} ==> - 1 = - \frac{b}{2a} ==> b = 2a$

II)

$\boxed{Y_v = - \frac{\Delta}{4a}} ==> 2 = - \frac{b^2 - 4ac}{4a} ==> - b^2 = 8a$

Substituindo I) em II):

- 4a^2 = 8a ==> 4a^2 + 8a = 0 ==> 4a(a + 2) = 0

- 4a^2 = 8a ==> 4a^2 + 8a = 0 ==> 4a(a + 2) = 0

Como $a \neq 0$ temos $\boxed{a = - 2}$ , com isso, $\boxed{b = - 4}$

Logo,
$\boxed{\boxed{f(x) = - 2x^2 - 4x}}$

Espero ter ajudado!

Tente as outras e poste como fez.

Até logo,

Daniel F.

por **LuizAquino** » Sex Jul 27, 2012 21:13

Ricardogferreira escreveu:Infelizmente não consegui anexar a imagem (não permite formato pdf). Os gráficos são gráficos de parábolas. O exercício vem no meu manual.

Uma dica: você pode usar a tecla Print Screen para copiar a sua tela. Em seguida, basta colar a imagem em um programa de edição e recortar a parte desejada. Após salvar esta imagem, basta anexá-la a sua mensagem usando os passos descritos no tópico:

[Anexos] Envio de anexos
viewtopic.php?f=134&t=7460

por **Ricardogferreira** » Dom Jul 29, 2012 09:22

Obrigado Daniel,

Desculpe incomodar novamente. Compreendi a sua explicação, mas fiquei com algumas dúvidas:

1.ª - Quando você diz que b = - 4 é porque o gráfico corta o eixo y no sentido descendente? É que substituindo o a = - 2 na equação - b^2 = 8a, fica b^2= 16, Logo, b = +4 ou -4

2.ª - A segunda dúvida é mais grave

tentei resolver o "gráfico B", mas não consegui. O "gráfico C" nem tentei porque o problema que eu tenho é o mesmo, ou seja, como não sei o valor de "c" fico com 3 incógnitas. Explicando o que consegui descobrir do "gráfico B":

a > 0
b < 0
b^2 - 4ac < 0
yv = 1 Logo, 1=(-b^2+4ac)/4a =» 4a = - b^2 + 4ac
xv = 2 Logo, 2 = - b /2a =» -b = 4a

Agora não consigo sair daqui. Precisava da sua ajuda de novo, se não for pedir muito.

Obrigado
Ricardo
Substituindo: 4a = 16a^2 + 4ac =» 1 = 4a+ c =» c= 1 - 4a

por **DanielFerreira** » Dom Jul 29, 2012 15:14

Ricardogferreira escreveu:Obrigado Daniel,

Desculpe incomodar novamente. Compreendi a sua explicação, mas fiquei com algumas dúvidas:

Não há incômodo algum!

Ricardogferreira escreveu:1.ª - Quando você diz que b = - 4 é porque o gráfico corta o eixo y no sentido descendente? É que substituindo o a = - 2 na equação - b^2 = 8a, fica b^2= 16, Logo, b = +4 ou -4

I:

Se

, a equação será f(x) = - 2x^2 + 4x

e as raízes

e

. Mas, de acordo com o enunciado...

e

.

II:

$\begin{cases}b = 2a \\ - b^2 = 8a\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b^2 = 4a^2 \\ b^2 = - 8a\end{cases} \Rightarrow 4a^2 = - 8a \Rightarrow 4a(a + 2) = 0 \Rightarrow a = 0$ e $\boxed{a = - 2}$

Quando a = 0

, devemos desconsiderar pois, $a \neq 0$ . Ou seja, se a = 0

a função seria de grau 1!

Quando $\boxed{\boxed{a = - 2}}$ : $\begin{cases}b = 2a \Rightarrow b = - 4 \\ - b^2 = 8a \Rightarrow b = \pm 4 \end{cases}$

Verificação:
Quando $\boxed{\boxed{b = - 4}}$ : $\begin{cases}b = 2a \Rightarrow a = - 2 \\ - b^2 = 8a \Rightarrow a = - 2 \end{cases}$ VERDADEIRO

Quando b = 4

: $\begin{cases}b = 2a \Rightarrow a = 2 \\ - b^2 = 8a \Rightarrow a = - 2 \end{cases}$ FALSO

por **DanielFerreira** » Dom Jul 29, 2012 15:31

Ricardogferreira escreveu:...
dados fornecidos no gráfico B (concavidade para cima)- Xv: 2; Yv: 1; GRÁFICO CORTA O EIXO Y EM 3, NO SENTIDO DECRESCENTE - Solução: g(x) = 1/2 (x-2)^2 + 1
...
Ricardo

Ricardogferreira escreveu:...
2.ª - A segunda dúvida é mais grave tentei resolver o "gráfico B", mas não consegui. O "gráfico C" nem tentei porque o problema que eu tenho é o mesmo, ou seja, como não sei o valor de "c" fico com 3 incógnitas. Explicando o que consegui descobrir do "gráfico B":

Logo, $1 = \frac{- b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow 4a = - b^2 + 4ac$

Logo, $2 = - \frac{b}{2a} \Rightarrow - b = 4a$

Agora não consigo sair daqui. Precisava da sua ajuda de novo, se não for pedir muito.

Obrigado
Ricardo

Faltou vc considerar a condição SUBLINHADA, ou seja, o ponto $\boxed{(0,3)}$

Espero ter ajudado!

por **Ricardogferreira** » Seg Jul 30, 2012 21:28

Apesar de o exercício estar praticamente resolvido, vou então colocar a resolução do "Gráfico B":

a > 0

c = 3

xv = 2 Logo, 2 = - b /2a ==> -b = 4a ==> b = - 4a

yv = 1 Logo, 1 = - $\frac{{b}^{2}- 4ac}{4a}$ ==> $-\left[{(-4a)}^{2} - 12a\right]$ = 4a ==> - (16 ${a}^{2}$ - 12a) = 4a ==> -16 ${a}^{2}$ + 8a = 0 ==> a(-16a+8) = 0 ==> a= 0 (Falso: porque a > 0) ou a = $\frac{1}{2}$

b = -4( $\frac{1}{2}$ ) = - 2

f(x) = a ${x}^{2}$ + bx + c
f(x) = $\frac{1}{2}$ ${x}^{2}$ - 2x + 3

Convertendo para a forma f(x) = a(x + $\frac{b}{2a}$ )^2 - $\frac{\Delta}{4a}$ como pretendido nas soluções:

f(x) = $\frac{1}{2}$ (x-2)^2 + 1

por **DanielFerreira** » Seg Jul 30, 2012 21:32

Legal!
Vc conseguiu.
E o gráfico

, também conseguiu?

por **Ricardogferreira** » Seg Jul 30, 2012 21:44

Quanto ao "Gráfico C" voltei a ter problemas porque, desta vez, não sei o Yv...

Estas são as conclusões a que cheguei:

a > 0

b < 0

\Delta > 0

Xv =1 ==> 1 = - b/2a ==> - b = 2a ==> b= - 2a

c = -2

Yv = - (b^2 - 4ac)/4a ==> Yv = - (4a^2 + 8a)/4a ==> Yv = - (a + 2) ==> Yv = -a - 2

A outra conclusão é que ainda tenho muito a aprender ...

por **LuizAquino** » Ter Jul 31, 2012 11:58

Ricardogferreira escreveu:A outra conclusão é que ainda tenho muito a aprender ...

É interessante que você conheça as várias formas de representar uma função polinomial do 2° grau. Cada uma dessas representações será útil em certa situação. As três representações são:

1) forma geral — f(x) = ax^2 + bx + c

;

2) forma fatorada — f(x) = a(x-x_1)(x - x_2)

, onde

e

são as raízes da função;

3) forma canônica (ou padrão) — f(x) = a(x-x_v)^2 + y_v

, onde

e

são as coordenadas do vértice da parábola.

Qual representação usar irá depender dos dados fornecidos no problema. É óbvio também que você pode passar de uma representação para a outra conforme a necessidade.

No caso do seu exercício, para os gráficos A e B, podemos aplicar diretamente a forma canônica.

Gráfico A — x_v = -1

,

,

e

.

Desse modo, temos que:

$f(x) = a[x - (-1)]^2 + 2 \implies f(x) = a(x+1)^2 + 2$

Note que falta apenas determinar o coeficiente a. Para isso, basta usar qualquer uma das raízes fornecidas. Ou seja, você sabe que acontece f(-2) = 0 e f(0) = 0. Por exemplo, escolhendo f(-2) = 0, temos que:

$a(-2 + 1)^2 + 2 = 0 \implies a = -2$

Portanto, a função para o gráfico A será:

f(x) = -2(x +1)^2 + 2

É óbvio que você também poderia ter usado f(0) = 0. No final você chegaria em a = -2 da mesma forma.

Gráfico B — x_v = 2

,

, g(0) = 3 (pois o gráfico corta o eixo y em 3).

Tente fazer esse aqui aplicando o mesmo procedimento usado para o A.

Gráfico C — x_1 = -1

,

e h(0) = -2 (pois o gráfico corta o eixo y em -2).

Aqui é mais interessante começar usando a forma fatorada:

$h(x) = a[x - (-1)](x - 3) \implies h(x) = a(x + 1)(x - 3)$

Lembrando que h(0) = -2, temos que:

$a(0 + 1)(0 - 3) = -2 \implies a = \frac{2}{3}$

Sendo assim, a função tem o formato fatorado:

$h(x) = \frac{2}{3}(x + 1)(x - 3)$

Apesar desta resposta estar correta, desejamos agora colocá-la no formato do gabarito. Afinal de contas, se o exercício fosse de múltipla escolha, deveríamos marcar a opção que corresponde a esta função.

Para transformar a função no formato fatorado para o formado canônico, vamos começar aplicando a distributiva:

$h(x)= \frac{2}{3}(x+1)(x -3) \implies h(x) = \frac{2}{3}(x^2 - 3x + x - 3)$ $\; \implies h(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - 2$

Agora vamos calcular x_v

e

:

$x_v = -\frac{b}{2a} \implies x_v = -\frac{-\frac{4}{3}}{2\cdot \frac{2}{3}} \implies x_v = 1$

$y_v = -\frac{\Delta}{4a} \implies y_v = -\frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^2 - 4\cdot\frac{2}{3}\cdot(-2)}{4\cdot\frac{2}{3}}\implies y_v = -\frac{8}{3}$

Sendo assim, essa função no formato canônico será:

$h(x) = \frac{2}{3}(x - 1)^2 - \frac{8}{3}$

por **Ricardogferreira** » Ter Jul 31, 2012 20:25

Bom,

Para fechar o tópico e como agradecimento a todos, resta-me então resolver o gráfico B) na forma canónica:

${x}_{v}$ = 2

${y}_{v}$ = 1

g(0) = 3

g(x) = a ${(x - {x}_{v})}{^2}$ + ${y}_{v}$

g(x) = a ${(x - 2)}{^2}$ + 1

3 = a ${(0 - 2)}{^2}$ + 1 $\Rightarrow$ 3 = 4a + 1 $\Rightarrow$ a = $\frac{1}{2}$

g(x) = $\frac{1}{2}$ ${(x - 2)}{^2}$ + 1

Cumprimentos a todos,
Ricardo

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