[Matrizes] Produto !!!!

por **e8group** » Sáb Jul 21, 2012 12:03

Determine todas a matrizes A,2x2,que comutam com toda matriz B,2x2 ,ou seja tais que AB = BA ,para toda matriz B,2x2 .

Solução (só encontrei uma,o enunciado pede todas ) :

Considerem $B =\begin{bmatrix} c & g\\ f& d\end{bmatrix} , [B ] _{ij} \in \mathbb{R}$ e $A =\begin{bmatrix} x & y\\ z& w\end{bmatrix} , [A]_{ij} \in \mathbb{R}$ de tal forma que $[AB]_{ij} = [BA]_{ij}$ ou seja , AB =BA

.

Então temos que $AB =BA \iff \begin{cases} yf =gz\\cy +gw = xg +zd \\ zc+wf =fx +dz \\zg +wd =fy+dw \end{cases}$

(A parti daí eu não consigo deixar de uma forma explícita cada elemento da matriz A em função dos elementos da matriz B,então criei uma condição que seja verdadeira )

Comparando os elementos $[AB]_{ij} =[BA]_{ij}$ para i =1,j=1 em particular para y=z=0

segue que

$w= x \iff f,g \neq 0$ .Ou seja A é uma matriz diagonal onde seus elementos são iguais , desta forma AB = BA

para toda matriz B ,2x2 .

OBS.: Esta é uma solução entretanto existe outras por exemplo $A= I ,A=B, A = B^{-1}$

por **e8group** » Sáb Jul 21, 2012 12:08

OBS.: Não estou conseguindo remover um erro no código ....

OBS_2.: Editei novamente e consegui remover o erro no código ,aguardo ajuda !

por **e8group** » Seg Jul 23, 2012 17:40

UP!
Alguém tem alguma opinião sobre este exercício ?

Aguardo .

por **LuizAquino** » Seg Jul 23, 2012 21:04

santhiago escreveu:Determine todas a matrizes A,2x2,que comutam com toda matriz B,2x2 ,ou seja tais que AB = BA ,para toda matriz B,2x2 .

Solução (só encontrei uma,o enunciado pede todas ) :

Considerem $B =\begin{bmatrix} c & g\\ f& d\end{bmatrix} , [B ] _{ij} \in \mathbb{R}$ e $A =\begin{bmatrix} x & y\\ z& w\end{bmatrix} , [A]_{ij} \in \mathbb{R}$ de tal forma que $[AB]_{ij} = [BA]_{ij}$ ou seja , .

Então temos que $AB =BA \iff \begin{cases} yf =gz\\cy +gw = xg +zd \\ zc+wf =fx +dz \\zg +wd =fy+dw \end{cases}$

(A parti daí eu não consigo deixar de uma forma explícita cada elemento da matriz A em função dos elementos da matriz B,então criei uma condição que seja verdadeira )

Comparando os elementos $[AB]_{ij} =[BA]_{ij}$ para i =1,j=1 em particular para segue que

$w= x \iff f,g \neq 0$ .Ou seja A é uma matriz diagonal onde seus elementos são iguais , desta forma para toda matriz B ,2x2 .

OBS.: Esta é uma solução entretanto existe outras por exemplo $A= I ,A=B, A = B^{-1}$

Suponha que B seja dada no problema. O objetivo é descobrir A.

Considerando as matrizes que você colocou, teremos o sistema (revise suas contas):

$\begin{cases} fy = gz \\ dy + gx = cy + gw \\ cz + fw = dz + fx\end{cases}$

Podemos ainda arrumar esse sistema no formato:

$\begin{cases} fy - gz = 0 \\ gx + (d- c)y - gw = 0 \\ -fx + (c - d)z + fw = 0\end{cases}$

Esse sistema possui infinitas soluções.

Como há mais incógnitas do que equações, vamos ter que escrever algumas incógnitas em função das outras.

Na primeira equação, caso f seja não nulo, obtemos que y = (g/f)z. Substituindo isso na segunda equação, ficamos com:

$\begin{cases} y = \frac{g}{f}z \\ gx + (d- c)\frac{g}{f}z - gw = 0 \\ -fx + (c - d)z + fw = 0\end{cases}$

Note que a incógnita y já está em função de z. Além disso, perceba que multiplicando a segunda equação por -f/g (supondo que g não é nulo), obtemos a terceira equação. Disso temos então que $x = \frac{c - d}{f}z + w$ .

Conclusão: dada a matriz $B =\begin{bmatrix} c & g\\ f& d\end{bmatrix}$ , com f e g não nulos, todas as matrizes que comutam com B possuem o formato $A =\begin{bmatrix} \frac{c - d}{f}z + w & \frac{g}{f} \\ z & w\end{bmatrix}$ . Note que para cada escolha de z e w obtemos uma matriz diferente. Em outras palavras, dada essa matriz B, podemos encontrar infinitas matrizes A que comutam com essa matriz B.

Agora pense nos casos onde f ou g são nulos.

por **fraol** » Seg Jul 23, 2012 21:18

Boa noite santhiago,

Em que nível/disciplina você está estudando esse assunto?

Tenho duas referências a respeito para você dar uma olhada:

1) http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/algebra/node28.html
Aqui esse assunto é tratado como uma aplicação da diagonalização de matrizes, pois para que duas matrizes comutem elas devem ser simultaneamente diagonalizáveis, isto é, deve-se achar uma base que que diagonalize ambas as matrizes e isso passa por encontrar os autovetores e o polinômio mínimo correspondente.

2) Livro: A Second Semester of Linear Algebra de S.E. Payne
Nesse livro há um capítulo sobre funções matriciais com um tópico tratando da comutatividade via Forma de Jordan.

No mais, espero que algum colega possa ser mais específico na ajuda. Esse assunto eu somente li, mas isso já faz um bom tempo.

.

por **e8group** » Ter Jul 24, 2012 18:48

LuizAquino escreveu:Suponha que B seja dada no problema. O objetivo é descobrir A.

Considerando as matrizes que você colocou, teremos o sistema (revise suas contas):

Podemos ainda arrumar esse sistema no formato:

Esse sistema possui infinitas soluções.

Como há mais incógnitas do que equações, vamos ter que escrever algumas incógnitas em função das outras.

Na primeira equação, caso f seja não nulo, obtemos que y = (g/f)z. Substituindo isso na segunda equação, ficamos com:

Note que a incógnita y já está em função de z. Além disso, perceba que multiplicando a segunda equação por -f/g (supondo que g não é nulo), obtemos a terceira equação. Disso temos então que .

Conclusão: dada a matriz , com f e g não nulos, todas as matrizes que comutam com B possuem o formato . Note que para cada escolha de z e w obtemos uma matriz diferente. Em outras palavras, dada essa matriz B, podemos encontrar infinitas matrizes A que comutam com essa matriz B.

Muito obrigado pela atenção .

LuizAquino escreveu:Agora pense nos casos onde f ou g são nulos.

Entretanto se f,g = 0

segue que ,

$\begin{cases} y(c-d) = 0\\z(c-d) = 0 \end{cases}$ .Supondo $c\neq d$ implica z =y = 0

,sendo assim

é uma matriz diagonal ,onde $AB = BA , \forall w,x \in \Re$ . Agora ,caso $d= c, AB = BA \forall a_{i,j} \in \Re$ já que

será uma matriz com os elementos da diagonal iguais e os demais nulos .

fraol escreveu:Boa noite santhiago,

Em que nível/disciplina você está estudando esse assunto?

Tenho duas referências a respeito para você dar uma olhada:

1) http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/ ... ode28.html
Aqui esse assunto é tratado como uma aplicação da diagonalização de matrizes, pois para que duas matrizes comutem elas devem ser simultaneamente diagonalizáveis, isto é, deve-se achar uma base que que diagonalize ambas as matrizes e isso passa por encontrar os autovetores e o polinômio mínimo correspondente.

2) Livro: A Second Semester of Linear Algebra de S.E. Payne
Nesse livro há um capítulo sobre funções matriciais com um tópico tratando da comutatividade via Forma de Jordan.

No mais, espero que algum colega possa ser mais específico na ajuda. Esse assunto eu somente li, mas isso já faz um bom tempo.

fraol ,Boa noite .Estou estudando Matrizes nível básico /elementar, o mesmo é abordado no livro de Geometria analítica (http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt0.pdf) mesmo não fazendo parte de G.A . Acredito que objetivo é dar uma base para a álgebra linear . Agradeço muito por este livro (A Second Semester of Linear Algebra de S.E. Payne) , vai ser muito útil quando estiver estudando álgebra linear e parece ser muito bom .

obrigado .