(FESP-SP)P.G.

por **Rafael16** » Qui Jul 19, 2012 23:10

Boa noite pessoal,

(FESP-SP) Em um triângulo equilátero de lado L, se unirmos os pontos médios de seus lados obtemos um novo triângulo equilátero. Se procedermos assim sucessivamente obteremos novos triângulos equiláteros, cada vez menores. O limite da soma das áreas dos triângulos equiláteros formados é:

Compreendi isso da seguinte maneira:

$(l,\frac{l}{2},\frac{l}{4},...,\frac{l}{n})$

Joguei na fórmula da soma de termos finitos, pois de acordo com o problema, haverá um limite.

$S = \frac{l.((\frac{1}{2})^{n-1}-1)}{\frac{1}{2}}$

A partir daqui não sei como prosseguir...

Resposta: ${l}^{2}.\frac{\sqrt[]{3}}{3}$

Valeu pessoal!

por **Arkanus Darondra** » Sex Jul 20, 2012 00:37

Rafael16 escreveu:Joguei na fórmula da soma de termos finitos, pois de acordo com o problema, haverá um limite.

Errado. Temos um P.G. infinita e decrescente.

Entenda "limite" como valor para o qual tende ou converge a soma.

Além disso você deverá encontrar a razão q entre as áreas.

Com isso, basta você utilizar a fórmula $S=\frac{a1}{1-q}$

por **Russman** » Sex Jul 20, 2012 02:17

Eu acredito que a área do n-ésimo triângulo formado se dá por

$A_{n} = \frac{l^{2}}{4^{n}}\sqrt{3}$ .

Assim, a progressão é

$l^{2}\sqrt{3} \left \{ \frac{1}{4^{1}}, \frac{1}{4^{2}}, \frac{1}{4^{3}}, \frac{1}{4^{4}},... \right \}$

onde $q = \frac{1}{4}$ .

por **e8group** » Sex Jul 20, 2012 11:44

Eu acho que tem como fazer assim também ,

$A_1 = \frac{l^2\sqrt{3}} {4} \implies A_n = \left( \frac{l}{2^n}\right )^2\frac{\sqrt{3}} {4}\implies A_n =A_1\left(\frac{1}{2^{2n}} \right )$ .Visto que A_1

é a área do triângulo equilátero e A_n

é n-ésima área após

divisões , a parti daí segue que a soma é representado por S(A_n)

, onde :

$S(A_n) = \sum_{j=0}^{\infty} \left( \frac{l}{2^j}\right )^2\frac{\sqrt{3}} {4} = A_1\left(\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2j}}\right)$

$\implies S(A_n) = A_1\left( 1 + \frac{1}{4} +\frac{1}{16} +\dots \right)$

Atribuindo uma variável a $\left( 1 + \frac{1}{4} +\frac{1}{16} +\dots \right)$ com certeza obterá algo . Vale lembra que pela formula de P.G infinita decrescente obterá a soma cuja razão é $\frac{1}{4}$ onde ,

$S = \frac{A_1}{1-q}$ ,Lembrando que $A_1 = \frac{l^2\sqrt{3}} {4}$ e $q = \frac{1}{4}$ .Com isso você obtém a soma (até mais fácil haha ) ...

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