Plano

por **Claudin** » Seg Jul 09, 2012 19:50

Determine a equação do plano definido pelo ponto P(2,1,3)

e pela reta $\begin{cases} 2x-y-z=2 \\ z=0 \end{cases}$

Não sei como iniciar o exercício, gostaria de uma dica para iniciar.
Tenho que tirar vetor diretor da reta e aplicar nos pontos para achar equação do plano?

por **Claudin** » Seg Jul 16, 2012 03:55

Ainda não sei como resolver

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 03:00

Ainda não sei como resolver[2]

por **Russman** » Ter Jul 17, 2012 04:31

Eu começaria parametrizando a reta!

Depois disso, basta proceder como você faz quando tem uma reta parametrizada e um ponto.

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 18:59

Como assim parametrizando? Poderia me dar o exemplo Rusman, pois eu tenho um ponto e tenho o vetor diretor da reta, para parametrizar não seria necessário ter dois pontos?

por **Russman** » Ter Jul 17, 2012 19:01

Uma parametrização possível é, de uma forma bem simples, tomar x=t

. Assim, isole o

em função de

, isto é,

. A equação paramétrica do

você já tem, que é z=0.t = 0

.

por **Claudin** » Sex Jul 20, 2012 03:29

Encontrei duas equações

y=2-2t

e

E depois?

por **Claudin** » Seg Jul 23, 2012 21:05

por **Russman** » Seg Jul 23, 2012 23:34

Agora você tem um ponto e a reta

$\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=2-2t\\ z=0\\ \end{matrix}\right.$

por **MarceloFantini** » Ter Jul 24, 2012 03:49

Acho que você errou algumas contas:

$2x-y=2 \implies 2x-2=y$ ;
$x=t \implies y = 2t-2$ e não y=2-2t.

por **Claudin** » Qua Jul 25, 2012 16:13

Isso mesmo Marcelo Fantini. :y:

Tendo um ponto e uma reta paramétrica, como chegar na equação do plano cartesiana?

por **Claudin** » Qua Jul 25, 2012 17:09

por **hygorvv** » Qui Jul 26, 2012 14:50

Eu faria diferente. Minha contribuição:
2x-y-z=2

Logo,

$(x-1)=\frac{y}{2}$
z=0

(Equações simétricas da reta)

Equação vetorial da reta :
$X=(1,0,0) + \lambda(1,2,0)$

Agora você tem dois pontos e um vetor paralelo ao plano.

Veja se te ajuda.

por **DanielFerreira** » Qui Jul 26, 2012 20:16

E aí Hygorvv, blz?
seja bem-vindo!!

por **hygorvv** » Sex Jul 27, 2012 00:27

Valeu, danjr5!

por **Claudin** » Sex Jul 27, 2012 00:44

hygorvv escreveu:Eu faria diferente. Minha contribuição:

Logo,

$(x-1)=\frac{y}{2}$
(Equações simétricas da reta)

Equação vetorial da reta :
$X=(1,0,0) + \lambda(1,2,0)$

Agora você tem dois pontos e um vetor paralelo ao plano.

Veja se te ajuda.

O problema é que pede equação na forma cartesiana e não vetorial.

Mas obrigado pela ajuda, e obrigado a todos

por **hygorvv** » Sex Jul 27, 2012 00:57

Sim, com dois pontos e um vetor paralelo você consegue a equação geral do plano.

por **Claudin** » Sex Jul 27, 2012 01:03

Sim.

Mas como você encontrou o ponto (1,0,0)

?

por **hygorvv** » Sex Jul 27, 2012 01:19

Olha as equações simétricas da reta. Sendo uma equação vetorial de uma reta sendo $r: X=(xo, yo, 0)+\lambda(a,b,0)$ , suas equações simétricas(ou reduzidas) serão: $\frac{(x-xo)}{a}=\frac{(y-yo)}{b}$ e z=0

Tenta comparar agora.

Espero que te ajude.

por **LuizAquino** » Sáb Jul 28, 2012 13:56

Claudin escreveu:Mas como você encontrou o ponto ?

Sala de Bate Papo - 28 de julho de 2012
(10:55:48) Claudin: Luiz Aquino, poderia me ajudar no tópico plano, nao consegui enxergar o ponto 1,0,0

O procedimento é simples. Basta analisar as equações.

Sabemos que a reta é a interseção dos planos 2x - y - z = 2 e z = 0. Isso significa que todos os pontos dessa reta devem atender essas duas equações.

Analisando a segunda delas, note que sempre a coordenada z é igual a zero. Sendo assim, já sabemos que todos os pontos dessa reta possuem o formato P = (x, y, 0).

Substituindo então z = 0 na primeira equação, obtemos que y = 2x - 2. Ou seja, podemos dizer que todos os pontos da reta possuem o formato P = (x, 2x - 2, 0). Note que escolhendo um valor qualquer para x podemos encontrar o valor correspondente para a coordenada y.

Agora responda: que ponto é obtido quando escolhemos x = 1?

por **Claudin** » Sáb Jul 28, 2012 14:12

Sim, iria encontrar (1,0,0)

Obrigado a todos pelas explicações.

:y:

por **Claudin** » Sex Ago 31, 2012 21:14

Tendo como vetor (1,2,0) e como ponto P(2,1,3)

Para encontrar a equação do plano na forma cartesiana, acabei substituindo na equação

ax+by+cz+d=0

Porém a equação correta no gabarito não é essa.

por **LuizAquino** » Sex Ago 31, 2012 21:38

Claudin escreveu:Tendo como vetor (1,2,0) e como ponto P(2,1,3)

Para encontrar a equação do plano na forma cartesiana, acabei substituindo na equação

Porém a equação correta no gabarito não é essa.

Na equação do plano, os coeficientes a, b e c representam as coordenadas de um vetor normal ao plano. Acontece que $\vec{d} = (1,\,2,\,0)$ não é um vetor normal ao plano!

Analise a figura abaixo. Você já conhece P = (2,1,3) e $\vec{d} = (1,\,2,\,0)$ . Para determinar um vetor $\vec{n}$ normal ao plano, basta calcular $\vec{d}\times\overrightarrow{QP}$ , sendo Q um ponto qualquer da reta r. Tente continuar a partir daí.