OSCM 2009 - Triângulo inscrito

por **anfran1** » Dom Jul 08, 2012 12:27

13. (OSCM 2009 - Adaptada) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência em que o lado AC do triângulo é um diâmetro. A bissetriz de B intercepta a circunferência no ponto D. Sabendo que AB=4 e que BC=2 , calcule BD.

Esse exercício eu não consegui resolver mas dei alguns passos:
1) Como AC é diâmetro, então o ângulo B é reto.
2)Aplicando Pitágoras no triângulo ABC temos que AC= $2\sqrt[2]{5}$ .
À partir daí não sei o que fazer. Marquei então o ponto E no qual a bissetriz de B intercepta AC. Percebi que ABD e EBC são semelhantes. No entanto é necessário conhecer mais valores para aplicar a relação de semelhança. Não sei se para continuar o exercício devo usar relações trigonométricas(seno, tangente, etc.) . Tentei lembrar de algo que meu professor ensinou como o Teorema da Bissetriz Interna.
Por favor me ajudem.

por **fraol** » Dom Jul 08, 2012 23:47

Boa noite,

Fiz um desenho auxiliar:

: tria.png (12.26 KiB) Exibido 5048 vezes

Você determinou que AC mede $2 \sqrt{5}$ .

O teorema da bissetriz interna trata da relação entre os lados adjacentes ao ângulo e os segmentos, no lado oposto, determinados pela bissetriz. Isto é:

$\frac{med(CD)}{med(BC)} = \frac{med(AD)}{med(AB)} \iff \frac{med(CD)}{2} = \frac{med(AD)}{4}$

$\iff med(CD) = \frac{med(AD)}{2}$ .

Então $med(AD) = \frac{2}{3} . 2 . \sqrt{5} = \frac{4 . \sqrt{5} }{3}$ .

Por outro lado, o cosseno do ângulo $BÂC = cos \alpha = \frac{4}{2 \sqrt{5}}$ .

Com estes dados você pode aplicar a lei dos cossenos (você a conhece?) e assim obter a medida de BD:

$[med(BD)]^2 = [med(AB)]^2 + [med(AD)]^2 - 2 med(AB) med(AD) . cos \alpha$ .

Basta substituir os valores.

Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

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por **Arkanus Darondra** » Seg Jul 09, 2012 00:09

fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.

por **fraol** » Seg Jul 09, 2012 02:28

Arkanus Darondra escreveu:
fraol escreveu:Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.

Tem razão. Não atentei ao enunciado quanto a posição do ponto D.
Bom, para não refazer o desenho vamos chamar o tal ponto de interseção da bissetriz de E.
Por propriedades da bissetriz concluiremos que AE e CE são iguais e portanto que os ângulos DÂE e DCE são iguais e valem 45 graus pois AEC vale 90 graus e o triângulo AEC é isósceles. Para calcular AE usamos Pitágoras. AD já temos da (meia) solução anterior. Então, temos dois lados e o ângulo entre eles. Isto é no triângulo AED sabemos AD, AE e o ângulo cujo cosseno é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Logo aplicamos a lei dos cossenos novamente para o lado DE desse triângulo.
Como já temos BD, basta somar com DE para obtermos a resposta final, aí o jeito é fazer as contas .

Arkanus Darondra dá uma geral, por favor, pra ver se não passou mais nada.

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por **Arkanus Darondra** » Seg Jul 09, 2012 11:42

Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.

$CD = \frac{AD}{2}$
$3CD = AC \Rightarrow CD = \frac{2\sqrt5}{3}$
Então $AD = \frac{4\sqrt5}{3}$

Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC = $\alpha$ e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
$\frac{EC}{sen{45}} = 2R = AC = 2\sqrt5 \Rightarrow EC = \sqrt{10}$

Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
$\frac{EC}{AD} = \frac{BE}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{10}}{\frac{4\sqrt5}{3}} = \frac{BE}{4}$
$BE = 3\sqrt2$

por **anfran1** » Ter Jul 10, 2012 13:48

Fiquei um pouco confuso com essas marcações. No caso o ponto E que vocês falam seria o ponto D do enunciado e o ponto D que vocês falam seria a ponto E que eu marquei ao tentar resolver o exercício?
E o objetivo é calcular o valor do segmento que vai do vértice B até o ponto da interseção(não sei se o português está correto) entre a bissetriz de B e a circunferência.
E sim, eu conheço a lei dos cossenos.
Desde já eu agradeço.

por **fraol** » Ter Jul 10, 2012 14:00

Boa tarde,

anfran1,

Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).

Arkanus Darondra,

Essa medida $BE = 6 \sqrt{2}$ é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.

Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:

$\frac{CE}{CD} = \frac{BE}{BC}$ .

Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.

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por **anfran1** » Ter Jul 10, 2012 14:04

fraol escreveu:Boa tarde,

anfran1,

Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).

Arkanus Darondra,

Essa medida $BE = 6 \sqrt{2}$ é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.

Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:

$\frac{CE}{CD} = \frac{BE}{BC}$ .

Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.

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Obrigado. Só tenho mais uma dúvida. Eu tive de adaptar o exercício por conta própria para que pudesse ser entendido poia havia uma imagem no mesmo. Como faço para postar um imagem?

por **fraol** » Ter Jul 10, 2012 14:13

Oi,

Quando você está editando a postagem na parte inferior da caixa de digitação há uma aba com um link "Adicionar um anexo". Ali você pode escolher uma figura armazenada no seu computador e enviar - é necessário dar um nome para a figura, por exemplo: fig1 ou o que você achar conveniente.

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por **Arkanus Darondra** » Ter Jul 10, 2012 14:20

fraol escreveu:Essa medida $BE = 6 \sqrt{2}$ é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.

Tem razão. Creio que o erro esteja neste passo:

Arkanus Darondra escreveu: $CD = \frac{AD}{2}$
$3AD = AC \Rightarrow AD = \frac{2\sqrt5}{3}$

O correto seria 3CD=AC.

Editei acima.
Obrigado por notar.

por **anfran1** » Ter Jul 10, 2012 14:21

Arkanus Darondra escreveu:Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.

$CD = \frac{AD}{2}$
$3AD = AC \Rightarrow AD = \frac{2\sqrt5}{3}$

Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC = $\alpha$ e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:
$\frac{EC}{sen{45}} = 2R = AC = 2\sqrt5 \Rightarrow EC = \sqrt{10}$

Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:
$\frac{EC}{AD} = \frac{BE}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{10}}{\frac{2\sqrt5}{3}} = \frac{BE}{4}$
$BE = 6\sqrt2$

Andei pesquisando em minhas apostilas e achei o tópico que fala sobre o teorema da bissetriz interna.
Aproveitando o desenho acima esse teorema pode ser comprovado da seguinte maneira:
1) Traça-se uma parelela (y) à bissetriz BD passando pelo ponto C.
2) Prolonga-se o lado AB até que esse encontre y no ponto K.}
3)Perceba que o triângulo BCK é isósceles, pois os ângulos ABD, DBC, BCK e BKC são todos do mesmo tamanho, portantoos lados BC=BK.
4) Basta aplicar o Teorema de Tales para comprovar a relação.
Isso fica apenas a cargo de curiosidade.