OSCM 2009 - Triângulo inscrito

[anfran1]

13. (OSCM 2009 - Adaptada) Seja ABC um triângulo inscrito em uma circunferência em que o lado AC do triângulo é um diâmetro. A bissetriz de B intercepta a circunferência no ponto D. Sabendo que AB=4 e que BC=2 , calcule BD.

Esse exercício eu não consegui resolver mas dei alguns passos:
1) Como AC é diâmetro, então o ângulo B é reto.
2)Aplicando Pitágoras no triângulo ABC temos que AC=.
À partir daí não sei o que fazer. Marquei então o ponto E no qual a bissetriz de B intercepta AC. Percebi que ABD e EBC são semelhantes. No entanto é necessário conhecer mais valores para aplicar a relação de semelhança. Não sei se para continuar o exercício devo usar relações trigonométricas(seno, tangente, etc.) . Tentei lembrar de algo que meu professor ensinou como o Teorema da Bissetriz Interna.
Por favor me ajudem.

[fraol]

Boa noite,

Fiz um desenho auxiliar:

tria.png (12.26 KiB) Exibido 5381 vezes

Você determinou que AC mede .

O teorema da bissetriz interna trata da relação entre os lados adjacentes ao ângulo e os segmentos, no lado oposto, determinados pela bissetriz. Isto é:



.

Então .

Por outro lado, o cosseno do ângulo .

Com estes dados você pode aplicar a lei dos cossenos (você a conhece?) e assim obter a medida de BD:

.

Basta substituir os valores.

Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

.

[Arkanus Darondra]

Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.

[fraol]

Se achar alguma passagem obscura manda de volta pra gente discutir.

Não analisei toda a resolução, porém, observando a figura, creio que a localização do ponto D esteja errada.
O ponto deveria estar sobre a circunferência, no ponto de intersecção com a bissetriz do ângulo reto.

Tem razão. Não atentei ao enunciado quanto a posição do ponto D.
Bom, para não refazer o desenho vamos chamar o tal ponto de interseção da bissetriz de E.
Por propriedades da bissetriz concluiremos que AE e CE são iguais e portanto que os ângulos DÂE e DCE são iguais e valem 45 graus pois AEC vale 90 graus e o triângulo AEC é isósceles. Para calcular AE usamos Pitágoras. AD já temos da (meia) solução anterior. Então, temos dois lados e o ângulo entre eles. Isto é no triângulo AED sabemos AD, AE e o ângulo cujo cosseno é . Logo aplicamos a lei dos cossenos novamente para o lado DE desse triângulo.
Como já temos BD, basta somar com DE para obtermos a resposta final, aí o jeito é fazer as contas .

Arkanus Darondra dá uma geral, por favor, pra ver se não passou mais nada.

.

[Arkanus Darondra]

Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.



Então

Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC = e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:


Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:

[anfran1]

Fiquei um pouco confuso com essas marcações. No caso o ponto E que vocês falam seria o ponto D do enunciado e o ponto D que vocês falam seria a ponto E que eu marquei ao tentar resolver o exercício?
E o objetivo é calcular o valor do segmento que vai do vértice B até o ponto da interseção(não sei se o português está correto) entre a bissetriz de B e a circunferência.
E sim, eu conheço a lei dos cossenos.
Desde já eu agradeço.

[fraol]

Boa tarde,

anfran1,

Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).

Arkanus Darondra,

Essa medida é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.


Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:

.

Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.

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[anfran1]

Boa tarde,

anfran1,

Considere E na nossa discussão como sendo o seu ponto D, assim a resposta que se procura é a medida do segmento BE. ( no enunciado que você postou seria BD - desculpe foi confusão minha ).

Arkanus Darondra,

Essa medida é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.


Obs: Há uma outra relação que, me parece, torna a solução do problema mais simples:

.

Essa relação utiliza alguns resultados que discutimos acima.

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Obrigado. Só tenho mais uma dúvida. Eu tive de adaptar o exercício por conta própria para que pudesse ser entendido poia havia uma imagem no mesmo. Como faço para postar um imagem?

[fraol]

Oi,

Quando você está editando a postagem na parte inferior da caixa de digitação há uma aba com um link "Adicionar um anexo". Ali você pode escolher uma figura armazenada no seu computador e enviar - é necessário dar um nome para a figura, por exemplo: fig1 ou o que você achar conveniente.

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[Arkanus Darondra]

Essa medida é superior ao diâmetro do círculo que o anfran1 encontrou.

Tem razão. Creio que o erro esteja neste passo:

O correto seria 3CD=AC.

Editei acima.
Obrigado por notar.

[anfran1]

Fraol, como eu desconheço a propriedade da bissetriz que você utilizou, creio que apenas o cálculo de AD esteja errado.




Considerando o Triângulo BEC, temos que BÊC = BÂC = e que DBC = BBA = 45º
Aplicando a lei dos senos no Triângulo BEC, vem:


Como o Triângulo BEC é semelhante ao Triângulo BAD (caso AA), vem:

Andei pesquisando em minhas apostilas e achei o tópico que fala sobre o teorema da bissetriz interna.
Aproveitando o desenho acima esse teorema pode ser comprovado da seguinte maneira:
1) Traça-se uma parelela (y) à bissetriz BD passando pelo ponto C.
2) Prolonga-se o lado AB até que esse encontre y no ponto K.}
3)Perceba que o triângulo BCK é isósceles, pois os ângulos ABD, DBC, BCK e BKC são todos do mesmo tamanho, portantoos lados BC=BK.
4) Basta aplicar o Teorema de Tales para comprovar a relação.
Isso fica apenas a cargo de curiosidade.