Otimizacao !!!!!!

por **andersoneng** » Qua Jun 27, 2012 12:26

Ola Pessoal ! Tenho uma duvida sobre este exercicio --2) Um automóvel que viaja à razão de
30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvelestá a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s
atravessa o cruzamento. Oautomóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com quevelocidade afastam-se o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento?

duvida-- eu chego na resposta certa do exercicio se eu usar o teorema de pitagoras nas duas equacoes horarias dos espacos.
sa=120-30t e sc 40t, encontrar um novo espaco, derivar este espaco, encontrando assim uma equacao da velocidade e aplicar o t=2s.

mas pq a velocidade do automovel tem de se negativa ::: nao entendo...alguem poderia resolve- la ::

por **e8group** » Qua Jun 27, 2012 16:49

andersoneng escreveu:Ola Pessoal ! Tenho uma duvida sobre este exercicio --2) Um automóvel que viaja à razão de
30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvelestá a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s
atravessa o cruzamento. Oautomóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com quevelocidade afastam-se o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento?

duvida-- eu chego na resposta certa do exercicio se eu usar o teorema de pitagoras nas duas equacoes horarias dos espacos.
sa=120-30t e sc 40t, encontrar um novo espaco, derivar este espaco, encontrando assim uma equacao da velocidade e aplicar o t=2s.

mas pq a velocidade do automovel tem de se negativa ::: nao entendo...alguem poderia resolve- la ::

Considere a figura abaixo :

Pela figura temos :

z(t) = 40(t)

,distância de C em sentido ao cruzamento .
y(t) = 30(t)

,distância de B em sentido ao cruzamento .
$w(t) = \sqrt{1600(t^2) +900(t^2)}$ ,distância de (B,C) .

logo :

$\frac{d w(t)}{dt} = \frac{ y(t) \frac{dy(t)}{d t} + z(t) \frac{d z(t)}{dt}}{w(t)}$ .

Tente resolver agora !

por **Russman** » Qua Jun 27, 2012 18:51

As velocidades tem de ser negativas pois os móveis se APROXIMAM da origem! Lembre-se qe a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. A medida que o tempo passa as posições vão diminuindo, pois aproximan-se do 0. Assim, a velocidade tem de ser negativa para equacionar realisticamente o problema.

por **Russman** » Qua Jun 27, 2012 19:18

Vou chamar o móvel que viaja na vertical de

e na horizontal de

.

andersoneng escreveu:Quando o automóvelestá a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s
atravessa o cruzamento.

Assim, em

temos

$\left\{\begin{matrix} y_{A}(t)=120 - 30t \Rightarrow y_{A}(t=0)=120 \\ x_{A}(t)=0 & \forall t\\ y_{B}(t)=0 & \forall t\\ x_{B}(t)=0-40t \Rightarrow x_{B}(t=0)=0 \\ \end{matrix}\right.$

Agora, você tem de calcular a distância entre os móveis a todo instante

a aprtir disso para então derivá-la e obter a velocidade relativa!
Seja D(t)

essa distância. Assim,

$D(t)^{2} = ( x_{A}-x_{B})^{2} + ( y_{A}-y_{B})^{2} = (40t)^{2} + (120-30t)^2$ .

Portanto,

$\frac{d}{dt}D(t)^{2} =2D(t)\frac{d}{dt}D(t)=\frac{d}{dt}[ (40t)^{2} + (120-30t)^{2}]\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{d}{dt}D(t)=\frac{1}{2D(t)}[2.40t.40-2.(120-30t).30]=\frac{100}{D(t)}(25t-36 )$ .

Agora, faça t=2

.

por **Russman** » Qua Jun 27, 2012 19:26

Eu acredito que você deva calcular

$\frac{d}{dt}D(t=2) = +14 & m/s$ .

por **Russman** » Qua Jun 27, 2012 19:49

Interessante nesta questão que, a longo prazo, a velocidade de afastamento dos móveis é constante, e igual a 50 m/s! Isto é,

$\lim_{t\rightarrow \infty } \frac{d}{dt}D(t)=50$ .

(:

por **e8group** » Qua Jun 27, 2012 21:36

ooops!
z(t) = 120 - 30(t) .além do mais sua dúvida nem estar relacionada a resolução do exercício e sim uma explicação física p/ as velocidades ser negativas (como nosso amigo explicou acima) , desculpe pelo erro . Abraços !