Problema chinês do Cento de Aves

[admin]

“Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100
moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?”

[jose reis pimenta]

para responder o problema das aves, devemos considerar, incialmente que será comprada pelo menos uma espécie de ave. Daí é só resolver o seguinte sistema:
x + y + z = 100
x + y + z/3 = 100, donde eliminando o z, temos: 14x + 8y = 200, como tem que comprar pelo menos uma ave de cada espécie, logo (200 - 14x)>1, donde x < 13,.., daí por tentativa, temos
x = 12, y = 4 e z = 84

[admin]

para responder o problema das aves, devemos considerar, incialmente que será comprada pelo menos uma espécie de ave. Daí é só resolver o seguinte sistema:
x + y + z = 100
x + y + z/3 = 100, donde eliminando o z, temos: 14x + 8y = 200, como tem que comprar pelo menos uma ave de cada espécie, logo (200 - 14x)>1, donde x < 13,.., daí por tentativa, temos
x = 12, y = 4 e z = 84

Olá.
De fato, esta é uma solução.
Há outras duas.

Abraço!

[DanielFerreira]

n° de galos: x
n° de galinhas: y
n° de frangos: z

EQUAÇÃO 1:
x + y + 3z = 100

EQUAÇÃO 2:
5x + 3y + z = 100

Igualando...
x + y + 3z = 5x + 3y + z
2z = 4x + 2y
z = 2x + y

EQUAÇÃO 1:
x + y + 3z = 100
x + y + 3(2x + y) = 100
x + y + 6x + 3y = 100
7x + 4y = 100

por tentativa:
7 + 93 = 100 (F) pois 93 não é múltiplo de 4. logo, n° ímpares não entram.
14 + 86=100 (F) idem
28 + 72=100 ==> x = 4, y = 18 e z = 78
42 + 58=100 (F) idem
56 + 44=100 ==> x = 8, y = 11 e z = 81
70 + 30=100 (F) idem
84 + 16=100 ==> x = 12, y = 4 e z = 84
98 + 2 = 100 (F) idem

[DanielFerreira]

A propósito, alguém sabe como resolver esse problema de outra maneira
Sem ser por tentativa

[Elcioschin]

Usando a técnica de Diofanto

7x + 4y = 100 ----> y = (100 - 7x)/4 ----> y = 25 - x - 3x/4 -----> k = 3x/4 é inteiro

x = 4k/3 ----> x = k + k/3 -----> n = k/3 é inteiro ----> k = 3n ---> n é inteiro

Colocando agora as varáveis x, y, z em função da variável inteira n:

x = 4k/3 ----> x = 4*(3n)/3 ----> x = 4n

y = [100 - 7x]/4 ----> y = [100 - 7*(4n)]/4 -----> y = 25 - 7n

z = 100 - x - y ----> z = 100 - 4n - (25 - 7n) -----> z = 75 + 3n

Como deve existir pelo menos 1 ave de cada espécie:

0 < y < 100 -----> 0 < 25 - 7n < 100 ----> - 25 < - 7n < 75 -----> 25/7 > n > - 75/7 ----> 3,6 < n < - 10,7

Um valor nulo ou valores negativos de n não servem pois implicam x = 0 ou x < 0 (x = 4n) -----> 3,6 > n > 0

Existem, portanto, APENAS 3 valores de n que satisfazem ----> n = 3, n = 2, n = 1

n = 1 ----> x = 4 -----> y = 18 ----> z = 78
n = 2 ----> x = 8 -----> y = 11 ----> z = 81
n = 3 ----> x = 12 ----> y = 4 -----> z = 84

Deve ficar claro que este não é um processo por TENTATIVAS. É um processo algébrico com equações e inequações.

[DanielFerreira]

Fala Élcio,
beleza?!
Vlw pela resposta.