[Ajuda]Área de Curvas

por **Jhonata** » Qua Jun 20, 2012 10:44

Não consigo nada na seguinte questão:
Seja $\Re$ a região limitada entre y=x-x^2

e o eixo-x. Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide $\Re$ em duas subregiões com áreas iguais.

Eu tentei resolver de muitas formas, mas não consigo progredir nada nessa questão; tudo que consegui fazer foi esboçar o gráfico da função, encontrar o ponto crítico, os pontos de interseção e sua área entre esses pontos

.

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 11:13

Seja a a reta uma função g(x) = ax

.

A área superior da parábola, que chamarei de $A_{1}$ é dada por

$A_{1} = \int_{0}^{k}[ f(x) - g(x)]$ ,

pois f(x)>g(x)

no intervalo [0,k]

.

O valor x=k

é onde as funções se intersectam. Assim,

$f(x) = g(x) \Rightarrow x - x^{2} = ax \Rightarrow x(1-a-x) = 0 \Rightarrow x= 1-a = k_{1} $ or x=0=k_{2}$

O valor nulo para

ja era conhecido, pois a reta passa pela origem.

A area que sobra, a area 2, $A_{2}$ é dada pela soma da area do triângulo e de um pedaço da parábola. Ou então, pela area que sobra.

$A_{2} = \int_{0}^{1} f(x) - A_{1} = \int_{0}^{1} f(x) - \int_{0}^{k} [f(x) - g(x)]$ .

Agora é só fazer $A_{1} = A_{2}$ efetuar a integrais e isolar

que você descobre a reta.

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 14:07

Eu fiz as contas aqui e cheguei em

$a = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Portanto a reta é $g(x) = (1 + \frac{1}{\sqrt[3]{2}})x$ .

Veja se você chega no mesmo resultado.

[Ajuda]Área de Curvas

[Ajuda]Área de Curvas

[Ajuda]Área de Curvas

Re: [Ajuda]Área de Curvas

Re: [Ajuda]Área de Curvas

Quem está online