[Otimização]Maior área de um retângulo

por **frank1** » Qua Mai 23, 2012 03:29

Fala pessoal blz?

Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P

e

, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2

, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y

, e aí não sei mais...

E agora?

abraços!!!

por **LuizAquino** » Qua Mai 23, 2012 11:35

frank1 escreveu:Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
e , daí isolo x na primeira equação fica: , e levo para A, resultando em , e aí não sei mais...

E agora?

Agora basta aplicar o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada. Se você não souber como proceder, então eu recomendo que você assista a videoaula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Se você não conseguir avançar mesmo após assistir a videoaula, então poste aqui até onde você conseguiu fazer.

por **frank1** » Qua Mai 23, 2012 20:15

Opa Luiz, de antemão, já agradeço a ajuda

Então, derivando a função $A=\frac{-2y^2+Py}{2}$ chego à seguinte expressão: $\frac{-4y+P}{2}$ , dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em $y=\frac{P}{4}$ , e agora fico meio confuso...

Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min? e se for de max/min como devo proceder?

abraços!!

por **LuizAquino** » Qui Mai 24, 2012 01:07

frank1 escreveu:Então, derivando a função $A=\frac{-2y^2+Py}{2}$ chego à seguinte expressão: $\frac{-4y+P}{2}$ , dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em $y=\frac{P}{4}$

Ok.

frank1 escreveu:Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min?

Isso é explicado na videoaula que indiquei anteriormente.

frank1 escreveu:e se for de max/min como devo proceder?

Vamos supor que você já conseguiu justificar que y = P/4 é o ponto de máximo.

Como você já sabe que x = (P - 2y)/2, substituindo y por P/4 você obtém que:

$x = \frac{P-2\cdot \frac{P}{4}}{2}$

$x = \frac{P-\frac{P}{2}}{2}$

$x = \frac{\frac{2P - P}{2}}{2}$

$x = \frac{P}{4}$

Desse modo, você pode concluir que x = y (já que ambos são iguais a P/4).

Note que isso significa que a maior área possível acontece quando o retângulo tem lados iguais. Ou seja, quando o retângulo é um quadrado.

por **frank1** » Qui Mai 24, 2012 09:15

Caramba Luiz, MUITO obrigado , entendi a questão e agora estou entendendo muito mais sobre pontos críticos e teste de segunda derivada

EDIT: Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?

por **LuizAquino** » Qui Mai 24, 2012 18:44

frank1 escreveu:Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?

Nesse caso, o enunciado do exercício estaria inconsistente, já que não haveria uma área máxima como é solicitado, mas sim uma área mínima.

De qualquer modo, no caso desse exercício, a pessoa tem que de fato obter que a área é máxima. Caso contrário, ela errou alguma coisa no desenvolvimento.

por **lucasabreuo** » Ter Mai 07, 2019 02:00

LuizAquino, boa noite!

Tenho um problema parecido com esse para resolver...Poderia me ajudar?

A questão é a seguinte:

Mostre que de todos os retângulos com uma dada área, aquele com o menor perímetro é um quadrado.

Nesse caso eu isolo o X da função Area do retângulo e substituo na função p do perímetro do retângulo e derivo?

Obrigado!

por **adauto martins** » Dom Jun 02, 2019 14:00

$A=x.y...y=\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}}$ ...logo:
$A(x)=x.(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})$ ...
$A'(x)=-2x(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})+(-2{x}^{3}/(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})=0...$
$2x.(d}^{2}-{x}^{2}-{x}^{2}/(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}}))=0\Rightarrow x=\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}}=y...x=y...$

por **adauto martins** » Qui Jun 06, 2019 12:59

uma correçao:
$A'(x)=\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}}-2{x}^{2}/(\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}})$
no qual se segue o resultado acima...
$A'(x)=({d}^{2}-{x}^{2}-{x}^{2})/(\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}})=0... x=y...$ ...obrigado