[complexos] demonstrações

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 16:22

Seja C o conjunto de números complexos, verifique que ${\left(1-i \right)}^{7}= -8\left(1+i \right)$ .

Já calculei de duas formas diferentes mas não consigo chegar ao resultado, pois dá-me o 8 positivo e não negativo:

${\left(1-i \right)}^{7}= \left(1-i \right)\left(1-i \right)\left(1-i \right)\left(1-i \right)\left(1-i \right)\left(1-i \right)\left(1-i \right)=$
$=\left(1-i-i+{-i}^{2} \right)\left(1-i-i+{-i}^{2} \right)\left(1-i-i+{-i}^{2} \right)\left(1-i \right)=$
$=\left(1-2i-1 \right)\left(1-2i-1 \right)\left(1-2i-1 \right)\left(1-i \right)=$
$=\left(-2i \right)\left(-2i \right)\left(-2i \right)\left(1-i \right)=\left(4i \right)\left(-2i+2{i}^{2} \right)=$
$=\left(-4 \right)\left(-2i-2 \right)=\left(-4 \right)\left(-2 \right)\left(i+1 \right)=8\left(1+i \right)$

Será problema do enunciado ou eu é que estou a fazer algum erro?

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 16:40

faltou ali o parentesis no i^2:
$\left(1-i-i+{\left(-i \right)}^{2} \right)$

por **Cleyson007** » Ter Mai 22, 2012 17:33

Boa tarde Alantejana!

O procedimento que você adotou não é o ideal para resolver esse tipo de exercício. Imagine se tivessémos uma potência 35, por exemplo, você iria repetir isso 35 vezes?

Analisando sua resolução:

Repare um erro logo no início (2ª linha): (1 - i)(1 - i) --> 1 -i -i +i² = 1 - 2i + i²

Outra coisa: você postou uma segunda mensagem para informar que faltou um parêntese. Quando for assim, clique no botão editar que você consegue alterar por lá, ok?

Alantejana, tente dar sequência no exercício e comente qualquer dúvida :y:

Até mais.

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 17:35

"Repare um erro logo no início (2ª linha): (1 - i)(1 - i) --> 1 -i -i +i² = 1 - 2i + i² "

Mas ao fazer $\left(1-i \right)\left(1-i \right)={1}^{2}+2.1.i+{i}^{2}$
isso fica na mesma 1-2i-1 que dá -2i....

Acho que não percebi...

por **Cleyson007** » Ter Mai 22, 2012 19:48

Boa noite Alantejana!

Vamos ao problema. Acompanhe:

${(1-i)}^{7}\Rightarrow(1-i)(1-i)(1-i)(1-i)(1-i)(1-i)(1-i)$

Como você mesmo observou:

$8i+8=-8-8i\Rightarrow16i+16$

Acredito que seja isso..

Comente qualquer dúvida :y:

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 19:57

OK, tentei agora pelo método do Binómio de Newton... mas o resultado deu o mesmo. Onde estou a errar?

${\left(1-i \right)}^{7}=7C0.({1}^{7}).({-i}^{0})+7C1.({1}^{6}).({-i}^{1})+7C2.({1}^{5}).({-i}^{2})+7C3.({1}^{4}).({-i}^{3})+7C4.({1}^{3}).({-i}^{4})+7C5.({1}^{2}).({-i}^{6})+7C6.({1}^{1}).({-i}^{6})+7C7.({1}^{0}).({-i}^{7})=$
=1.1.1+7.1.(-i)+21.1.(-1)+35.1.i+35.1.1+21.1.(-i)+7.1.(-1)+1.1.(-i)=1-7i-21+35i+35-21i-7+i=(1-21+35-7)+(-7+35-21+1)i=8(1+i)

=1.1.1+7.1.(-i)+21.1.(-1)+35.1.i+35.1.1+21.1.(-i)+7.1.(-1)+1.1.(-i)=1-7i-21+35i+35-21i-7+i=(1-21+35-7)+(-7+35-21+1)i=8(1+i)

Novamente o resultado é o mesmo. Mas eu estou a fazer:
(-i)^0=1
(-i)^1=(-1)^1 x i^1= -i
(-i)^2=(-1)^2 x i^2= -1
(-i)^3=(-1)^3 x i^3= (-1) x (-i)=i
(-i)^4=(-i)^0= 1
(-i)^5=(-i)^1= -i
(-i)^6=(-i)^2= -1
(-i)^7=(-i)^3= -i

Será que estou a fazer mal por ser (-i)^n em vez de i^n?

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 20:16

Obrigada Cleyson007

O que eu acho é que é mesmo erro do enunciado, pois ele pede para demonstrar a igualdade e 8(1+i) não é igual a -8(1+1). Eu pensei foi que me tivesse enganado nalgum calculo. Agora vou tentar resolver o outro exercicio pelo binomio de newton... Já vai meio caminho andado

Obrigada

por **joaofonseca** » Ter Mai 22, 2012 20:25

Eu cheguei ao mesmo resultado por duas formas diferentes:

1) Lei Binomial:

Sabemos que $\space 1^n=1 \space$ , para qualquer $\space n \in \mathbb{Z}$ . Sabemos também que -i=i^3

. Podemos então escrever:

$(1-i)^7= \binom{7}{0}(i^3)^0+\binom{7}{1}(i^3)^1+\binom{7}{2}(i^3)^2+\binom{7}{3}(i^3)^3+\binom{7}{4}(i^3)^4+$

$\binom{7}{5}(i^3)^5+\binom{7}{6}(i^3)^6+\binom{7}{7}(i^3)^7$

(1-i)^7= 1-7i-21+35i+35-21i-7+i=8+8i

2)Forma Trigonometrica:

Seja $\space w=1-i \space$ .Então $\space |w|=\sqrt{2} \space$ e $\space arg(w)=-\frac{\pi}{4}$ .
Logo $\space w^7= \sqrt{2^7} cis \left(-\frac{7 \pi}{4} \right )$ .

Fica:

$\sqrt{2^7} \left ( cos(\frac{\pi}{4})+sen(\frac{\pi}{4})i \right)=2^3\sqrt{2} \left (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \right)=8+8i$

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