[complexos] dúvida

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 17:28

Tenho uma outra dúvida de complexos:
Determine o módulo e o argunento positivo mínimo de ${\left(\frac{-1+i}{1+i\sqrt[2]{3}} \right)}^{10}$

A dúvida não é tanto determinar o módulo e o argumento. É saber se existe alguma forma mais simples de resolver o complexo para a forma z=a+bi, pois cada vez que tento resolver, como está elevado a 10, acabo por me atrapalhar mais ainda pois mete a raiz quadrada pelo meio.

Estou a resolver primeiro sem elevar a 10:

$\frac{-1+i}{1+i\sqrt[2]{3}} \right)=\frac{\left(-1+i \right)\left(1-i\sqrt[2]{3} \right)}\left( {1+i\sqrt[2]{3} \right)\left(1-i\sqrt[2]{3} \right)}=\frac{-1+i\sqrt[2]{3}+i-{i}^{2}\sqrt[2]{3}}{1-{\left(i\sqrt[2]{3} \right)}^{2}} \right)}=$
$=\frac{\left((-1+\sqrt[2]{3})+\left(\sqrt[2]{3}+1 \right) \right)i}{1+3}=\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}i$

Agora tenho de elevar tudo isto a 10... aí complica mais ainda... há algum truque para fazer essa conta?

${\left(\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}i \right)}^{10}$

Ou será melhor primeiro resolver a expressão inicial elevado a 10 e só depois fazer a divisão? tentei das duas formas mas é muito número....

por **Cleyson007** » Ter Mai 22, 2012 17:58

Boa tarde Alantejana!

Acredito que essa dica irá te ajudar em algo:

Quando trabalhamos com potência dentro dos complexos, podemos dividir o expoente por 4. Veja:

i^75 (lê-se: i elevado a 75)

75 / 4 (75 dividido por4) --> Repare que essa divisão dá resto 3. Logo, i^75 = i^3 = i²(i) = -i

Isso te ajuda em algo?

Até mais.

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 18:08

Boa tarde Cleyson007

Mas essa regra apenas se aplica à parte imaginária i... Não posso aplicar a todo o número complexo...

por **alentejana** » Ter Mai 22, 2012 18:54

Se calhar é para usar o binomio de newton... Vou experimentar...
(...)
Depois de mais uma tentativa falhada (pelo binómio de Newton é de loucos resolver esta potência, sem recorrer a arredondamentos), resolvi tentar pelo método trigonométrico. Continuando de onde tinha ficado:
Seja $w=\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{1+\sqrt[2]{3}}{4}i$
$\left| w \right|=\sqrt[2]{{\left(\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4} \right)}^{2}+{\left(\frac{1+\sqrt[2]{3}}{4} \right)}^{2}}=\sqrt[2]{\frac{1-2\sqrt[2]{3}+3+1+2\sqrt[2]{3}+3}{16}}=\sqrt[2]{\frac{8}{16}}=\sqrt[2]{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{2}}$
Até aqui tudo bem...
$tg\theta=\frac{\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}}{\frac{\sqrt[2]{3}-1}{4}}=\frac{\sqrt[2]{3}+1}{\sqrt[2]{3}-1}$
Isto é algum ângulo notável? Porque me deu arg w=1.308996939 e deveria ter dado qualquer coisa "pi"

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