Determine o módulo e o argunento positivo mínimo de
![{\left(\frac{-1+i}{1+i\sqrt[2]{3}} \right)}^{10}](/latexrender/pictures/40f907d4993698300d56ce8d70c1d95e.png "{\left(\frac{-1+i}{1+i\sqrt[2]{3}} \right)}^{10}")
A dúvida não é tanto determinar o módulo e o argumento. É saber se existe alguma forma mais simples de resolver o complexo para a forma z=a+bi, pois cada vez que tento resolver, como está elevado a 10, acabo por me atrapalhar mais ainda pois mete a raiz quadrada pelo meio.
Estou a resolver primeiro sem elevar a 10:
![\frac{-1+i}{1+i\sqrt[2]{3}} \right)=\frac{\left(-1+i \right)\left(1-i\sqrt[2]{3} \right)}\left( {1+i\sqrt[2]{3} \right)\left(1-i\sqrt[2]{3} \right)}=\frac{-1+i\sqrt[2]{3}+i-{i}^{2}\sqrt[2]{3}}{1-{\left(i\sqrt[2]{3} \right)}^{2}} \right)}=](/latexrender/pictures/c9d857e79c3064bdf8575dbdd36282ed.png "\frac{-1+i}{1+i\sqrt[2]{3}} \right)=\frac{\left(-1+i \right)\left(1-i\sqrt[2]{3} \right)}\left( {1+i\sqrt[2]{3} \right)\left(1-i\sqrt[2]{3} \right)}=\frac{-1+i\sqrt[2]{3}+i-{i}^{2}\sqrt[2]{3}}{1-{\left(i\sqrt[2]{3} \right)}^{2}} \right)}=")
![=\frac{\left((-1+\sqrt[2]{3})+\left(\sqrt[2]{3}+1 \right) \right)i}{1+3}=\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}i](/latexrender/pictures/f9d87ad7ea6253be2ca24ef3f5349fb5.png "=\frac{\left((-1+\sqrt[2]{3})+\left(\sqrt[2]{3}+1 \right) \right)i}{1+3}=\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}i")
Agora tenho de elevar tudo isto a 10... aí complica mais ainda... há algum truque para fazer essa conta?
![{\left(\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}i \right)}^{10}](/latexrender/pictures/d0bc36cd03e9bbf79bc69d719e3a102e.png "{\left(\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}i \right)}^{10}")
Ou será melhor primeiro resolver a expressão inicial elevado a 10 e só depois fazer a divisão? tentei das duas formas mas é muito número....
![w=\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{1+\sqrt[2]{3}}{4}i](/latexrender/pictures/422d89e3ad29537f9519c55f22612037.png "w=\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4}+\frac{1+\sqrt[2]{3}}{4}i")
![\left| w \right|=\sqrt[2]{{\left(\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4} \right)}^{2}+{\left(\frac{1+\sqrt[2]{3}}{4} \right)}^{2}}=\sqrt[2]{\frac{1-2\sqrt[2]{3}+3+1+2\sqrt[2]{3}+3}{16}}=\sqrt[2]{\frac{8}{16}}=\sqrt[2]{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{2}}](/latexrender/pictures/ccaae2c922ae6fdb58bf335f94367802.png "\left| w \right|=\sqrt[2]{{\left(\frac{-1+\sqrt[2]{3}}{4} \right)}^{2}+{\left(\frac{1+\sqrt[2]{3}}{4} \right)}^{2}}=\sqrt[2]{\frac{1-2\sqrt[2]{3}+3+1+2\sqrt[2]{3}+3}{16}}=\sqrt[2]{\frac{8}{16}}=\sqrt[2]{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{2}}")
![tg\theta=\frac{\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}}{\frac{\sqrt[2]{3}-1}{4}}=\frac{\sqrt[2]{3}+1}{\sqrt[2]{3}-1}](/latexrender/pictures/0810353b5285320f5a0f5a21a537e7f0.png "tg\theta=\frac{\frac{\sqrt[2]{3}+1}{4}}{\frac{\sqrt[2]{3}-1}{4}}=\frac{\sqrt[2]{3}+1}{\sqrt[2]{3}-1}")
![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
e elevar ao quadrado os dois lados)