Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

por **Ananda** » Qui Mar 06, 2008 11:51

Bom dia!

A área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas que são soluções da equação cos(x+y)=0, com $0\leq x+y \leq2\pi$ , é igual a:

Resposta: $\pi^2$ unidades de área

Eu cheguei a:
cos x . cos y - sen x . sen y = 0
cos x . cos y = sen x . sen y
tg y . tg x = 1

Daí fui analisando as possibilidades e obtive como possíveis:

45^0+45^0;
120^0+150^0;
30^0+60^0;
135^0+135^0;
210^0+60^0;
225^0+45^0;
240^0+30^0

45^0+45^0;
120^0+150^0;
30^0+60^0;
135^0+135^0;
210^0+60^0;
225^0+45^0;
240^0+30^0

Daí tracei as retas no círculo trigonométrico (só tracei as que cortam o primeiro quadrante), mas nas minhas tentativas de calcular a área não cheguei nenhuma vez a $\pi^2$ , porque parti de que a área da circunferência é $\piR^2$ .
Como prossigo se é que está certo?

Grata desde já!

por **admin** » Qui Mar 06, 2008 13:12

Olá Ananda, boa tarde!

A região que está em destaque na sua figura, não é a que o enunciado pede a área.

Eu sei que vendo esta equação cos(x+y)=0

logo pensamos em desenvolver a soma de arcos.

Mas, você pensou na solução geral?
Lembra do conjunto-solução de uma equação trigonométrica que comentei na dúvida anterior?

Tente este caminho!
Encontre o conjunto-solução.
Você terá um

inteiro.

Em seguida, veja que o enunciado especifica um intervalo.
Encontre os valores de

que atendem à condição.

Somente então, você poderá extrair duas retas.
Trace as duas retas no plano cartesiano.

A área pedida está entre elas, no primeiro quadrante, e realmente é $\pi^2$ .

Vamos conversando...
Até mais!

por **Ananda** » Qui Mar 06, 2008 14:00

Olá!
Fica assim?

cos (x+y)=0
cos = 0 --> $\frac{\pi}{2}$

$S = \{x+y \in \Re | x+y = \frac{\pi}{2}+K.\pi\} \left(K \in\\Z \right)$

No intervalo pedido, K pode ser 0 ou 1.
Então:
x+y= 90^0

x+y=

Agora para fazer as retas no plano cartesiano tenho que usar os valores dos ângulos como x e y?

por **admin** » Qui Mar 06, 2008 14:17

Ananda, antes, só um comentário.
Eu entendi o que você quis dizer aqui, mas não se deve escrever desta forma:

cos = 0 --> $\frac{\pi}{2}$

A idéia fica expressa assim:

Para $\alpha \in \Re$ , $0 \leq \alpha \leq \pi$ , $cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}$

Igualmente:
Para $\alpha$ real, $\alpha \in [0, \pi]$ , $cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}$

Voltando, o conjunto-solução é este mesmo, está certo!
E k=0

ou

, ótimo!

Você precisa sim utilizar os ângulos, mas em radianos, não em graus.

E depois, por favor, comente como você traça retas no plano cartesiano.
Parece ingênuo, mas é importante. Farei novos comentários a partir de sua resposta.

O exercício está quase acabando. Uma vez que você visualizar as retas, será fácil o cálculo da área pedida.
Até mais.

por **Ananda** » Qui Mar 06, 2008 15:19

Ai! Agora que eu entendi hahahaha
Por isso que eu tentava colocar o desenho dentro do primeiro quadrante do círculo trigonométrico e não dava certo! hahahaha
No plano cartesiano fica assim:

Área total: Triângulo maior
base = $\frac{3\pi}{2}-0$

altura = $\frac{3\pi}{2}-0$

Área total: $\frac{9\pi}{8}$

Área do triângulo menor:
base = $\frac{\pi}{2}-0$

altura = $\frac{\pi}{2}-0$

Área: $\frac{\pi^2}{8}$

Área delimitada = Área total - Área do triângulo menor
Área delimitada = $\frac{9\pi^2}{8}-\frac{\pi^2}{8}$

Área delimitada = $\pi^2$

Certo?

Sobre como eu traço as retas, bom se eu entendi direito a pergunta, com régua e usando escala.
Grata pela atenção e ajuda!

por **admin** » Qui Mar 06, 2008 16:58

Olá!

Certo!

Parece que sua dúvida inicial teve relação com o primeiro quadrante.
Apenas para registrar, sendo $x, y \in \Re$ , o primeiro quadrante é a intersecção das regiões representadas por estas inequações:

$\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix} \right.$

Veja na figura, incluindo o círculo trigonométrico:

: primeiro_quadrante.jpg (25.97 KiB) Exibido 10117 vezes

E a região do enunciado realmente não cabe dentro do círculo que possui área $\pi$ .

Sobre os gráficos, seria melhor eu ter perguntado, não como você desenha, mas como você pensa.
No caso de retas, há várias formas, mas acredito que se você fizer uso do que eu tentarei explicar, conseguirá esboçar muitos gráficos mentalmente, apenas olhando para suas equações.

Escrevi um tópico só para o assunto: Pensando e esboçando gráficos
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=72&t=150

Bons estudos!
Espero ter ajudado!

por **Ananda** » Qui Mar 06, 2008 17:48

Oi!
É o método da "tabelinha" mesmo...
Mas tenho uma noção de como será a representação (reta decrescente, crescente; parábola) por causa dos gráficos de Física...
Grata!