Calculo combinatório

por **joaofonseca** » Sáb Mai 05, 2012 10:00

Numa sala de aula existem 3 filas de mesas, cada fila com 10 cadeiras.Ao distribuir 30 alunos pelos 30 lugares,qual a probabilidade de um grupo de 3 amigos ficarem na mesma fila?

Os casos possíveis serão iguais a 30!

A minha dúvida está nos casos favoráveis.
O gabarito é $3! \cdot 10 \cdot 27!$

A meu ver, por cada arranjo que os 3 amigos ocuparem em cada fila, os restantes alunos podem permutar 27! formas diferentes nas restantes 27 cadeiras. Ora os 3 amigos podem sentar-se em cada fila de A(10,3)=720 maneiras diferentes. Não consigo entender o gabarito!
Alguém me pode ajudar?
Obrigado

por **Fabiano Vieira** » Sáb Mai 05, 2012 11:20

joaofonseca escreveu:Ora os 3 amigos podem sentar-se em cada fila de A(10,3)=720 maneiras diferentes. Não consigo entender o gabarito!

Se três amigos sentam-se em três cadeiras, eles poderão sentar-se de 6(3!) modos diferentes nessas mesmas cadeiras. Exemplo:

$\frac{C1}{3}\frac{C2}{2}\frac{C3}{1}=6$

por **joaofonseca** » Dom Mai 06, 2012 07:29

Fabiano Vieira , não entendi a tua resposta.Podes clarificar?
Contudo realso que os três amigo se podem sentar em 10 cadeiras possíveis e a ordem conta. e ainda que existem 3 filas entre as quaos os amigos podem escolher uma.

por **Fabiano Vieira** » Dom Mai 06, 2012 12:47

Das dez cadeiras, suponha que eles sentaram nas cadeiras 1,2 e 3( C1, C2 E C3), e que seja Pedro, Manoel e Carlos.
$\frac{Pedro}{C1}\frac{Manoel}{C2}\frac{Carlos}{C3}$

$\frac{Pedro}{C1}\frac{Carlos}{C2}\frac{Manoel}{C3}$

$\frac{Carlos}{C1}\frac{Pedro}{C2}\frac{Manoel}{C3}$

$\frac{Carlos}{C1}\frac{Manoel}{C2}\frac{Pedro}{C3}$

$\frac{Manoel}{C1}\frac{Carlos}{C2}\frac{Pedro}{C3}$

$\frac{Manoel}{C1}\frac{Pedro}{C2}\frac{Carlos}{C3}$

Desse modo, eles podem sentar de 6(3!) maneiras diferentes.

por **joaofonseca** » Dom Mai 06, 2012 20:00

Fabiano Vieira , o teu raciocinio estaria correto se só existissem 3 cadeiras.Mas existem 10(em cada fila). Por isso eles podem sentar-se noutras cadeiras.
Agora pensando, o 1º amigo tem à disposição 10 cadeiras para se sentar, o 2º amigo só terá 9 cadeiras e o 3º amigo terá 8 cadeiras onde se sentar. Assim, em cada fila, os amigos podem sentar-se $10 \cdot 9 \cdot 8=720$ . Ou seja é uma premutação Pr(10,3)

.
Contudo existem 3 filas, logo existem $3 \cdot Pr(10,3)$ . Mas como a ordem conta, a posição de cada um dos restantes 27 alunos é importante. Por isso por cada posição que os 3 amigos ocupem nas diferentes filas, os restantes alunos podem permutar 27!

.
Os casos favoráveis serão $3 \cdot \frac{10!}{7!} \cdot 27!$ . Só posso concluir que o gabarito está errado!!!!!!!

por **Fabiano Vieira** » Dom Mai 06, 2012 23:43

joãofonsenca,

Mesmo se eles sentarem em cadeiras diferentes na mesma fila, ainda sim eles poderão sentar de seis maneiras diferentes.
Ex:
$\frac{Pedro}{C1}\frac{Manoel}{C5}\frac{Carlos}{C10}$

$\frac{Pedro}{C1}\frac{Carlos}{C5}\frac{Manoel}{C10}$

...e seguindo o mesmo exemplo já feito.

Mas como a questão fala de probabilidade e não maneiras diferentes, concordo com você. Porque, acho, o fato deles sentarem de seis maneiras diferentes nessas mesmas cadeiras não alterara o resultado.