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[limite]

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Mensagempor Priscilla Correa » Sáb Abr 07, 2012 15:44

\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{} / x - p

Alguém pode me ajudar??
Priscilla Correa
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Re: [limite]

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 07, 2012 16:06

Priscilla Correa escreveu:\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{} / x - p

Alguém pode me ajudar??


O que você escreveu é equivalente a:

\lim_{x \to 0}\sqrt[n]{x} - \frac{\sqrt[n]{p}}{x} - p

Mas eu presumo que o exercício original seja:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p}

Se você queria dizer isso, então deveria ter escrito algo como:

\lim_{x \to p}\left(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}\right)/(x - p)

Note a importância do uso dos parênteses! Além disso, note que x tende a p e não a 0.

Falando agora sobre a resolução desse limite, note que:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{\left(\sqrt[n]{x}\right)^n - \left(\sqrt[n]{p}\right)^n}

Agora use o produto notável:

a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)
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Re: [limite]

Mensagempor Priscilla Correa » Sáb Abr 07, 2012 16:15

Obrigada pela resposta, eu fiquei meio confusa na hora de escrever a função e acabei digitando errado.
Então, eu resolvi e deu 1/0 (um sobre zero). Será que é isso mesmo???
Priscilla Correa
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Re: [limite]

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 07, 2012 16:19

Priscilla Correa escreveu:Obrigada pela resposta, eu fiquei meio confusa na hora de escrever a função e acabei digitando errado.
Então, eu resolvi e deu 1/0 (um sobre zero). Será que é isso mesmo???


O resultado não é esse. Envie a sua resolução para que possamos corrigi-la.
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Re: [limite]

Mensagempor Priscilla Correa » Sáb Abr 07, 2012 16:33

Eu refiz e cheguei a outro resultado.
\lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{}) / (x - p)
= \lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{})(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})/ (x - p)(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})= \lim_{x \rightarrow p} 1/(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{}) = 1/(\sqrt[n]p + \sqrt[n]p{}{})

Será que está certo??
Priscilla Correa
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Re: [limite]

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 07, 2012 16:54

Priscilla Correa escreveu:Eu refiz e cheguei a outro resultado.
\lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{}) / (x - p)
= \lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{})(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})/ (x - p)(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})= \lim_{x \rightarrow p} 1/(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{}) = 1/(\sqrt[n]p + \sqrt[n]p{}{})

Será que está certo??


Está errado. O seu erro está em achar que \left(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}\right)\right\left(\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{p}\right) é igual a x - p.

Por exemplo, note que:

\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}\right)\right\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{p}\right) = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{p}\right)^2 \neq x - p

Usando o produto notável que indiquei anteriormente, temos que:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{\left(\sqrt[n]{x}\right)^n - \left(\sqrt[n]{p}\right)^n}

= \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p})(\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{x}^{n-3}\sqrt[n]{p}^2+\ldots \sqrt[n]{x}^2\sqrt[n]{p}^{n-3} + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{p}^{n-2} + \sqrt[n]{p}^{n-1})}

= \lim_{x\to p}\frac{1}{\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{x}^{n-3}\sqrt[n]{p}^2+\ldots \sqrt[n]{x}^2\sqrt[n]{p}^{n-3} + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{p}^{n-2} + \sqrt[n]{p}^{n-1}}

Agora tente terminar o exercício.

Uma dica: para que você possa entender melhor o que acontece no caso geral, estude o que acontece em um caso particular. Por exemplo, quando n = 3 temos que:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 - \left(\sqrt[3]{p}\right)^3}

= \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}\right)\left(\sqrt[3]{x}^{2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{p}^2\right)}

= \lim_{x\to p}\frac{1}{\sqrt[3]{x}^{2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{p}^2}

Agora tente continuar.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?