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[limite]

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Mensagempor Priscilla Correa » Sáb Abr 07, 2012 15:44

\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{} / x - p

Alguém pode me ajudar??
Priscilla Correa
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Re: [limite]

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 07, 2012 16:06

Priscilla Correa escreveu:\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{} / x - p

Alguém pode me ajudar??


O que você escreveu é equivalente a:

\lim_{x \to 0}\sqrt[n]{x} - \frac{\sqrt[n]{p}}{x} - p

Mas eu presumo que o exercício original seja:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p}

Se você queria dizer isso, então deveria ter escrito algo como:

\lim_{x \to p}\left(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}\right)/(x - p)

Note a importância do uso dos parênteses! Além disso, note que x tende a p e não a 0.

Falando agora sobre a resolução desse limite, note que:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{\left(\sqrt[n]{x}\right)^n - \left(\sqrt[n]{p}\right)^n}

Agora use o produto notável:

a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)
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Re: [limite]

Mensagempor Priscilla Correa » Sáb Abr 07, 2012 16:15

Obrigada pela resposta, eu fiquei meio confusa na hora de escrever a função e acabei digitando errado.
Então, eu resolvi e deu 1/0 (um sobre zero). Será que é isso mesmo???
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Re: [limite]

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 07, 2012 16:19

Priscilla Correa escreveu:Obrigada pela resposta, eu fiquei meio confusa na hora de escrever a função e acabei digitando errado.
Então, eu resolvi e deu 1/0 (um sobre zero). Será que é isso mesmo???


O resultado não é esse. Envie a sua resolução para que possamos corrigi-la.
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Re: [limite]

Mensagempor Priscilla Correa » Sáb Abr 07, 2012 16:33

Eu refiz e cheguei a outro resultado.
\lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{}) / (x - p)
= \lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{})(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})/ (x - p)(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})= \lim_{x \rightarrow p} 1/(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{}) = 1/(\sqrt[n]p + \sqrt[n]p{}{})

Será que está certo??
Priscilla Correa
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Re: [limite]

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 07, 2012 16:54

Priscilla Correa escreveu:Eu refiz e cheguei a outro resultado.
\lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{}) / (x - p)
= \lim_{x \rightarrow p}(\sqrt[n]x - \sqrt[n]p{}{})(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})/ (x - p)(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{})= \lim_{x \rightarrow p} 1/(\sqrt[n]x + \sqrt[n]p{}{}) = 1/(\sqrt[n]p + \sqrt[n]p{}{})

Será que está certo??


Está errado. O seu erro está em achar que \left(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}\right)\right\left(\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{p}\right) é igual a x - p.

Por exemplo, note que:

\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}\right)\right\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{p}\right) = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 - \left(\sqrt[3]{p}\right)^2 \neq x - p

Usando o produto notável que indiquei anteriormente, temos que:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{\left(\sqrt[n]{x}\right)^n - \left(\sqrt[n]{p}\right)^n}

= \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p})(\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{x}^{n-3}\sqrt[n]{p}^2+\ldots \sqrt[n]{x}^2\sqrt[n]{p}^{n-3} + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{p}^{n-2} + \sqrt[n]{p}^{n-1})}

= \lim_{x\to p}\frac{1}{\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{x}^{n-3}\sqrt[n]{p}^2+\ldots \sqrt[n]{x}^2\sqrt[n]{p}^{n-3} + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{p}^{n-2} + \sqrt[n]{p}^{n-1}}

Agora tente terminar o exercício.

Uma dica: para que você possa entender melhor o que acontece no caso geral, estude o que acontece em um caso particular. Por exemplo, quando n = 3 temos que:

\lim_{x \to p}\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{x - p} = \lim_{x \to p} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 - \left(\sqrt[3]{p}\right)^3}

= \lim_{x\to p}\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}}{\left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p}\right)\left(\sqrt[3]{x}^{2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{p}^2\right)}

= \lim_{x\to p}\frac{1}{\sqrt[3]{x}^{2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{p}^2}

Agora tente continuar.
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


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derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
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derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)