Dúvida em exercício de lógica/conceitos básicos

por **Danilo** » Sáb Mar 17, 2012 10:39

Decida se as proposições a seguir são verdadeira ou falsa.

Proposição 1: Se x é um número real positivo, então (?x)² = x Proposição 2: Se x é um número real positivo, então (?-x)² = - x Proposição 3: Se x é um número real, então ?x² = x

Galera, eu sei que, se existir contra-exemplo para a proposição, a mesma é falsa. E posso dar valor para quantos ''xizes'' eu quiser (pelo menos para a proposição 1) , que isso não é suficiente para que a proposição seja verdadeira. Então basta eu provar que a proposição não admite contra-exemplos. Bom, qual é o melhor caminho que eu devo seguir? Não vejo como demonstrar, ou provar que a(s) proposição não existe/existe contra-exemplo. Muito grato se puderem clarear a minha mente. Obrigado.

por **fraol** » Sáb Mar 17, 2012 11:27

Creio que o melhor caminho a seguir varia de caso para caso. Em geral, o que se pode fazer é analisar as possibilidades que temos para tentar a demonstração e então escolher um caminho. Se não sair por esse caminho, então tentamos um outro. Com o tempo e a prática os melhores caminhos vão ficando mais claros.

Quando temos uma expressão do tipo A = B

para provar uma alternativa seria tentar provar por contradição, isto é afirmamos que $A \ne B$ e desenvolvemos essa expressão, então se chegarmos a uma contradição concluímos que A = B

.

Há um tempo atrás, traduzi um artigo em http://acontanaobate.blogspot.com.br/2011/07/recomendacoes-para-estudantes.html que trata de várias alternativas de demonstração de sentenças matemáticas. Se tiver um tempinho dá uma olhada lá.

Grato.

por **Danilo** » Sáb Mar 17, 2012 11:33

Sim, Fraol, é verdade. Posso tentar demontrar por absurdo. Vou tentar fazer o que você disse, e vou ler o artigo também. E sim, clareou bastante ^^. Obrigado.

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 17, 2012 15:00

Vale lembrar que raíz quadrada está definida apenas valores positivos. Logo, a primeira com certeza é verdadeira. A segunda segue analogamente. Uma dica para a terceira é: pense no caso em que x for negativo, assumindo que a expressão é $\sqrt{x^2}$ .

por **Danilo** » Dom Mar 18, 2012 01:40

Pessoal, posso responder dizendo, que, para a proposição - Se x é um número real positivo, então (?x)² -

A proposição não admite contra-exemplo pois, por definição não existe conjunto fora dos reais positivos que satisfaça a proposição. Posso dizer assim? Só preciso dizer se é verdadeiro ou falso e justificar.

por **MarceloFantini** » Dom Mar 18, 2012 02:24

Cuidado: a expressão $\sqrt{x^2}$ é diferente de $(\sqrt{x})^2$ . A primeira admite qualquer número real, a segunda pressupõe que seja não-negativo.

por **Danilo** » Dom Mar 18, 2012 10:27

bom, então para a primeira, posso dizer: por definição não existe conjunto fora dos reais positivos que satisfaça a proposição. Posso dizer assim?

para a segunda: a proposição é falsa, porque por exemplo temos que se x = -3 (?-3²) = - 3 o que contraria a definição, pois a raiz quadrada de um número é definida apenas para números positivos.

Estou perguntando antes porque é uma uma lista de exercícios que tenho que entregar amanhã :P

correto?

por **MarceloFantini** » Dom Mar 18, 2012 14:33

Diga que apenas os números reais positivos satisfazem a proposição, sobre o segundo você errou: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ . Se fosse -3, a proposição seria correta.