Integral - onde errei?

por **dina ribeiro** » Sex Mar 16, 2012 18:39

Boa tarde!

Gostaria de saber onde errei na resolução da integral abaixo:
$\int_{}^{}s {e}^{-5s}ds$
fazendo por substituição (u=-5s , du=-5ds , ds=-du/5)

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{u}du$
fazendo por partes $\int_{}^{}k*dv= k*v - \int_{}^{}v*dk$
onde k=s , dk=1
v=e^u , dv=e^u du

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{u}du = -\frac{1}{5}s{e}^{u}-{e}^{u}$
$=-\frac{1}{5}s{e}^{-5s}-{e}^{-5s}+c$

grata

por **LuizAquino** » Sex Mar 16, 2012 19:28

dina ribeiro escreveu:Gostaria de saber onde errei na resolução da integral abaixo:
$\int_{}^{}s {e}^{-5s}ds$
fazendo por substituição (u=-5s , du=-5ds , ds=-du/5)

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{u}du$

Você errou essa substituição. O correto seria:

$\int s e^{-5s}\, ds = -\frac{1}{5}\int \left(-\frac{u}{5}\right) e^u \, du$

Note que na sua resolução, a variável s continuou aparecendo na integral após a substituição. Isso não pode acontecer. Afinal de contas, você desejava substituir a variável da integral que era s por uma outra variável (no caso u).

Agora continue a resolução a partir daí.

por **dina ribeiro** » Sáb Mar 17, 2012 00:14

Mas u=-5s ou u=s ??????

Se fosse igual a s , ficaria assim: $-\frac{1}{5}\int_{}^{}u{e}^{-5u}du$

Não entendi!

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 17, 2012 01:19

A substituição que ele fez é u=-5s

.

por **dina ribeiro** » Sáb Mar 17, 2012 11:37

simmmm, então pq ele disse que tenho que substituir o s por u, se u=-5s????

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{-5s}$

Se u=-5s, então

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{u}$

Onde está o erro????

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 17, 2012 13:02

Porque quando integramos queremos ter apenas a variável dentro da integral. Não faz sentido usar uma substituição e manter a variável original.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 17, 2012 22:41

dina ribeiro escreveu:Mas u=-5s ou u=s ??????

Se fosse igual a s , ficaria assim: $-\frac{1}{5}\int_{}^{}u{e}^{-5u}du$

Não entendi!

dina ribeiro escreveu:simmmm, então pq ele disse que tenho que substituir o s por u, se u=-5s????

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{-5s}$

Se u=-5s, então

$-\frac{1}{5}\int_{}^{}s{e}^{u}$

Onde está o erro????

Você interpretou errado o que eu disse.

Eu não disse que você deveria fazer s = u.

O que eu disse foi: "Note que na sua resolução, a variável s continuou aparecendo na integral após a substituição. Isso não pode acontecer. Afinal de contas, você desejava substituir a variável da integral que era s por uma outra variável (no caso u)".

No método da substituição, nós devemos "substituir" ou "trocar" a variável original da integral por uma outra variável.

Vamos supor que a variável original da integral fosse s. Dizer que vamos "substituir" (ou "trocar") a variável original da integral por u, não significa dizer que vamos fazer s = u. Significa apenas que a integral passará da forma $\int f(s) \,ds$ para a forma $\int g(u) \,du$ .

Voltando ao exercício, a integral estava no formato:

$\int s{e}^{-5s} \, ds$

Nesse caso, podemos dizer que $f(s) = se^{-5s}$ e que portanto a integral tem o formato:

$\int f(s) \, ds$

Desejamos agora fazer uma substituição (uma troca) de variável de modo que o novo formato será:

$\int g(u) \, du$

Fazendo então u = -5s (o que é o mesmo que dizer que s = -u/5), temos que a integral original será reescrita como:

$\int -\frac{1}{5}\left(-\frac{u}{5}\right) e^u \, du$

Nesse caso, temos que $g(u) = -\frac{1}{5}\left(-\frac{u}{5}\right) e^u$ .

O seu erro está no fato de que após a sua substituição o integrando continuou dependendo da variável s. Isto é, não temos apenas uma função do tipo g(u).

Eis o que você escreveu: