Radicais II

por **Andrewo** » Qui Fev 09, 2012 19:38

Aí galera tenho uns probleminhas aí que preciso tirar dúvidas,

O 1 e o 2 são pra transformar em 1 só radical

1) - $\frac{\sqrt[4]{639}}{\sqrt[4]{71}}$ $\Rightarrow$ Onde eu cheguei : $\sqrt[4]{\frac{9}{1}}$

A resposta pelo gabarito: $\sqrt[]{3}$

2 - $\sqrt[3]{\frac{y}{x}\sqrt[]{\frac{x}{y}}}$

Nesse eu tentei jogar o $\frac{y}{x}$ pra dentro da raize ficaria $\sqrt[3]{\sqrt[]{\frac{x}{y}}.{\frac{y}{x}}^{2}}$ = $\sqrt[6]{\frac{x}{y}}.{\frac{y}{x}}^{2}$

Resposta pelo gabarito: $\sqrt[6]{\frac{y}{x}}$

Esse aqui é p/ usar distributiva:

3- $(\sqrt[]{5}-1) (\sqrt[]{5}+3)$

O que eu fiz : $5+3\sqrt[]{5}-\sqrt[]{5}-3$
= $2+2\sqrt[]{5}$

O resultado pelo gabarito é : $2(1+\sqrt[]{5})$ (será que tá errado esse gabarito????)

4- $\frac{2}{\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}}$

Esse aqui é p/ racionalizar, mas não sei como fazer, tentei de varias maneiras.

Resposta : $8+4\sqrt[]{3}$

por **MarceloFantini** » Qui Fev 09, 2012 20:30

No primeiro você acertou, pois note que $\sqrt[4]{\frac{9}{1}} = \frac{\sqrt[4]{9}}{1} = \frac{\sqrt[4]{3^2}}{1} = \frac{\sqrt[2]{3}}{1} = \sqrt{3}$ .

No segundo, note $\sqrt[3]{\frac{y}{x} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}}} = \sqrt[3]{ \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{ \frac{1}{2} } }{y^{ \frac{1}{2} } } } = \sqrt[3]{ \frac{y^{ \frac{1}{2} } }{x^{ \frac{1}{2} } } } = \sqrt[6]{ \frac{y}{x} }$

Sua resposta não está errada na terceira, você apenas não colocou em evidência: $2+2 \sqrt{5} = 2(1+ \sqrt{5})$ .

Por último,

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} =$

$= 2 \cdot \left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \cdot (2 + \sqrt{3})$

por **Andrewo** » Sex Fev 10, 2012 10:56

Vlw marcelo, ajudou mto, só to com duvidas nas 2 seguintes :

MarceloFantini escreveu:
No segundo, note $\sqrt[3]{\frac{y}{x} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}}} = \sqrt[3]{ \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{ \frac{1}{2} } }{y^{ \frac{1}{2} } } } = \sqrt[3]{ \frac{y^{ \frac{1}{2} } }{x^{ \frac{1}{2} } } } = \sqrt[6]{ \frac{y}{x} }$

Pq o $\sqrt[3]{ \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{ \frac{1}{2} } }{y^{ \frac{1}{2} } } }$ se transformou em $\sqrt[3]{ \frac{y^{ \frac{1}{2} } }{x^{ \frac{1}{2} } } }$

Pois se isto é uma multiplicação de fração, então não seria : $\frac{{xy}^{\frac{1}{2}}}{{xy}^{\frac{1}{2}}}$ ????

E tambem :

Por último,

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} =$

$= 2 \cdot \left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \cdot (2 + \sqrt{3})$

Eu tbm tentei fazer algo parecido, mas essa resposta que vc deu não bate com o gabarito

por **MarceloFantini** » Sex Fev 10, 2012 11:32

Você não percebeu que a fração é trocada, na primeira é $\frac{y}{x}$ enquanto que na segunda é $\frac{x}{y}$ . Assim, podemos reescrever como $\frac{y}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x}$ (estou trabalhando apenas com o que está dentro da raíz), e agora usando propriedades de expoentes como $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$ e $a^{-d} = \frac{1}{a^d}$ teremos que $\frac{y}{y^{\frac{1}{2}}} = y^{1 - \frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x^{\frac{1}{2} - 1} = x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ , daí $\frac{y}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Sobre a outra, minha resposta está certa, a do gabarito não. Para verificar, coloque as duas expressões em www.wolframalpha.com e verifique que numericamente elas são diferentes.

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