Algebra Linear

por **nietzsche** » Ter Jan 24, 2012 22:30

Alguém pode me ajudar?

Sejam T, S operadores lineares de V em V, (V é espaço vetorial). Mostre que se (S o T - I) é injetora entõ (T o S - I) é injetora , (I é a identidade).
(Sugestão: SoT(ToS-I) = (SoT-I)oS.)

por **LuizAquino** » Qua Jan 25, 2012 20:17

nietzsche escreveu:Sejam T, S operadores lineares de V em V, (V é espaço vetorial). Mostre que se (S o T - I) é injetora entõ (T o S - I) é injetora , (I é a identidade).
(Sugestão: SoT(ToS-I) = (SoT-I)oS.)

Eu presumo que a sugestão na verdade seja $S\circ (T\circ S - I) = (S\circ T - I)\circ S$ .

Por hipótese, $(S\circ T - I)$ é injetora. Como sabemos que I é injetora, temos que S será injetora (justifique essa passagem).

Como $(S\circ T - I)$ e S são injetoras, temos que $(S\circ T - I)\circ S$ é injetora (justifique essa passagem).

Lembrando-se das propriedades de composições e que I é a identidade, podemos escrever que:

$(S\circ T - I)\circ S = (S\circ T)\circ S - I\circ S$

$= S\circ (T\circ S) - I\circ S$

$= S\circ (T\circ S) - S\circ I$

$= S\circ (T\circ S - I)$

Em resumo, temos que:

$(S\circ T - I)\circ S = S\circ (T\circ S - I)$

Sendo assim, como $(S\circ T - I)\circ S$ é injetora, temos que $S\circ (T\circ S - I)$ também é injetora.

Como $S \circ (T\circ S - I)$ e S são injetoras, temos que $(T\circ S - I)$ é injetora (justifique essa passagem).

por **nietzsche** » Qui Jan 26, 2012 00:27

Olá Luiz,
a dica era a que você falou mesmo, escrevi errado, desculpa.

Você disse:

"Por hipótese, (SoT - I) é injetora. Como sabemos que I é injetora, temos que S será injetora (justifique essa passagem)"

mas como provo que S é injetora?

Acho que o certo é:
Se T é um operador,
ToU = I => T é sobrejetora (no problema não seria S é sobrejtora pois tem inversa a direta?)
SoT = I => T é injetora

por **LuizAquino** » Qui Jan 26, 2012 01:08

nietzsche escreveu:Você disse:

"Por hipótese, (SoT - I) é injetora. Como sabemos que I é injetora, temos que S será injetora (justifique essa passagem)"

mas como provo que S é injetora?

Que tal pensar mais um pouco sobre o exercício? Eu já indiquei mais de 75% do caminho! Tente continuar!

A ideia é imaginar o que aconteceria com $(S\circ T - I)$ caso S não fosse injetora.

Comece pelo caso trivial, no qual S é o operador identicamente nulo.

nietzsche escreveu:Acho que o certo é:
Se T é um operador,
ToU = I => T é sobrejetora (no problema não seria S é sobrejtora pois tem inversa a direta?)
SoT = I => T é injetora

Como T e S são de V em V, se elas são injetoras, então também são sobrejetoras. O contrário também é válido: se elas são sobrejetoras, então também são injetoras. Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para verificar isso.

por **nietzsche** » Qui Jan 26, 2012 08:28

Mas nesse problema a dimensão do espaço vetorial V não é finita, logo não posso usar o teorema do núcleo/imagem nem dizer que se T é sobrejetiva, então é injetiva.

por **LuizAquino** » Qui Jan 26, 2012 13:54

nietzsche escreveu:Mas nesse problema a dimensão do espaço vetorial V não é finita, logo não posso usar o teorema do núcleo/imagem nem dizer que se T é sobrejetiva, então é injetiva.

Em que contexto esse exercício foi proposto? Ou seja, que conteúdos foram estudados antes dele? Você retirou esse exercício de algum livro?

Se V for de dimensão infinita, então é necessário mexer mais no caminho que indiquei acima.

por **nietzsche** » Qui Jan 26, 2012 17:32

Obrigado por responder. Então, o contexto é dum curso de álgebra linear para mestrado, ou um segundo curso de álgebra linear para graduação. Nenhuma hipóstese além das que estão no enunciado podem ser usadas.

por **nietzsche** » Qui Jan 26, 2012 17:34

Se quiser tentar resolver, seria bom, mas acabei resolvendo.

por **LuizAquino** » Qui Jan 26, 2012 18:25

nietzsche escreveu:Se quiser tentar resolver, seria bom, mas acabei resolvendo.

Já que você resolveu, então por favor poste a sua resolução.

Dessa forma, esse tópico ficará completo para futuras referências.

por **nietzsche** » Qui Jan 26, 2012 20:33

Queremos provar que:
Para todo v $\in$ Nuc(ToS-I) => v=0.

Para todo v $\in$ Nuc(ToS-I), temos pela definição de núcleo que (ToS-I)(v) = 0. (*)
Aplicando S dos dois lados e usando que S é uma transformação linear: S(ToS-I)(v) = S(0) = 0.
Usando a dica, temos que: (SoT-I)oS(v)=0.
Por hipótese, se SoT-I é injetiva, então Nuc(SoT) = {0}.
Portanto, Sv=0.
Usando que Sv=0 em (*): (ToS-I)(v) = (ToS)(v) -Iv = T(S(v)) - v = T(0)- v =0.
Usando que T é linear: v = T(0) = 0.
Portanto, v=0.

por **LuizAquino** » Qui Jan 26, 2012 21:16

nietzsche escreveu:Queremos provar que:
Para todo v $\in$ Nuc(ToS-I) => v=0.

Para todo v $\in$ Nuc(ToS-I), temos pela definição de núcleo que (ToS-I)(v) = 0. (*)
Aplicando S dos dois lados e usando que S é uma transformação linear: S(ToS-I)(v) = S(0) = 0.
Usando a dica, temos que: (SoT-I)oS(v)=0.
Por hipótese, se SoT-I é injetiva, então Nuc(SoT) = {0}.
Portanto, Sv=0.
Usando que Sv=0 em (*): (ToS-I)(v) = (ToS)(v) -Iv = T(S(v)) - v = T(0)- v =0.
Usando que T é linear: v = T(0) = 0.
Portanto, v=0.

Boa solução. Ela serve tanto para V com dimensão finita ou infinita.

Apenas há um erro de digitação na passagem "(...) se SoT-I é injetiva, então Nuc(SoT) = {0}". Na verdade, a última parte seria "então Nuc(SoT-I) = {0}".

Aproveito para fazer uma observação sobre o caminho que indiquei. Eu escrevi acima que:

"(...)
Por hipótese, $(S\circ T - I)$ é injetora. Como sabemos que I é injetora, temos que S será injetora.
(...)"

Caso S seja o operador identicamente nulo, temos que $(S\circ T - I)$ é injetora mesmo sendo S não injetora.

Entretanto, mesmo nesse caso, temos que $(T\circ S - I)$ é injetora.

por **nietzsche** » Qui Jan 26, 2012 23:24

É verdade, tem um erro de digitação. Porém tentei editar o post mas não consegui. Mas obrigado por avisar.
Então, se S é idenicamente nula, vale. Mas se fizer como você disse, assumir que S é injetora, T seria injetora, I injetora, então a composição, soma, etc, também seria injetora e a parte que restaria é provar essas passagens. Valeu pela discussão, achei bem proveitosa.