Equação - Dúvida básica sobre a proporcionalidade de equação

por **FelipeGM** » Qui Jan 12, 2012 19:05

Olá, estou iniciando agora no mundo da matemática, e gostaria de uma ajuda nessa questão. Sei que deve ser muito simples a resposta, mas realmente tenho dificuldades.

$\frac{18x}{3x + 1} - 3 = \frac{1}{x - 2} + 3$

Fiquei um dia inteiro resolvendo essa equação, eu consegui após muito tempo a resposta 11/9, que está correta.

Porém a forma que eu utilizei para resolve-lá foi que me motivou a buscar uma opinião.

Eu passei os elementos para o lado esquerdo e utilizei um principio de proporcionalidade que deixou a equação no seguinte formato:

18x(x-2) - 1(3x+1) - 6(x-2)(3x+1) = 0

Como pode ser visto, multipliquei os termos antecedentes com os termos consequentes. Mas ai vai a minha dúvida:

O 6 está para 1, por isso não adicionei esse termo na hora de multiplicar com os termos adjacentes. Mas se o 6 estivesse para 2x + 1 por exemplo? A equação ficaria da seguinte forma:

18x(x-2)(2x + 1) - 1(3x+1)(2x + 1) - 6(x-2)(3x+1) = 0

18x(x-2)(2x + 1) - 1(3x+1)(2x + 1) - 6(x-2)(3x+1) = 0

Veja que agora estou multiplicando o 2x + 1 pelos termos adjacentes. Isso eu faria por dedução, mas encontrei alguns exercícios resolvidos não fazem desta maneira. Poderiam me dizer o que está errado no seu raciocínio?

Desde já agradeço.

por **ant_dii** » Sex Jan 13, 2012 00:52

Bom, não ficou muito clara qual é a sua dúvida.
Mas vejamos. Se fosse
$\frac{18x}{3x + 1} - \frac{6}{2x+1} - \frac{1}{x - 2} =0$

poderíamos proceder da seguinte forma
$\frac{18x}{3x + 1} - \frac{6}{2x+1} - \frac{1}{x - 2} =0 \Rightarrow \\ \\ \frac{18x(2x+1)(x-2)-6(3x+1)(x-2)-1(3x + 1)(2x+1)}{(3x+1)(2x+1)(x-2)}=0 \\ \\ \Rightarrow 18x(2x+1)(x-2)-6(3x+1)(x-2)-1(3x + 1)(2x+1)=0$

somente tirando o mínimo entre as parcelas...
Poste o exercício que viu, para saber onde esta o erro.

por **FelipeGM** » Sex Jan 13, 2012 13:34

Olá ant_dii, obrigado por responder.

Entendi a forma que você procedeu, mas o seguinte exercício resolvido que encontrei em uma apostila não segue a mesma lógica:

$\frac{x + 2}{2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2} =0 \Rightarrow \\ \\ \frac{(x+2)(x-2) + 2.2 + 1.(x-2)}{2(x-2)}=0$

Como pode ver, ele não multiplicou os termos em cima da fração pelos outros dois em baixo, mas apenas por um deles.

Esta é a forma que eu faria se seguisse a lógica de multiplicar por todos os termos:

$\frac{(x+2).(x-2).2 + 2.2.2 + 1.2(x-2)}{2.2(x-2)}=0$

Mas acredito que desta forma está errada, pois deve haver alguma regra que desconheço ai.
Poderia me ajudar por favor? Obrigado.

por **ant_dii** » Sáb Jan 14, 2012 02:25

FelipeGM escreveu:mas o seguinte exercício resolvido que encontrei em uma apostila não segue a mesma lógica:

$\frac{x + 2}{2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2} =0 \Rightarrow \\ \\ \frac{(x+2)(x-2) + 2.2 + 1.(x-2)}{2(x-2)}=0$

Como pode ver, ele não multiplicou os termos em cima da fração pelos outros dois em baixo, mas apenas por um deles.

Mas esta tudo correto. Veja que

$\frac{x + 2}{2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2} =0 \Rightarrow 2\left(\frac{x + 2}{2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2}\right) =2(0) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (x+2) + \frac{4}{x - 2} +1=0 \Rightarrow x+3 + \frac{4}{x - 2}=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{(x - 2)(x+3 )}{(x - 2)} + \frac{4}{x - 2}=0 \Rightarrow \frac{(x - 2)(x+3 )+4}{x - 2}=0$

Na verdade, o problema da sua questão colocada acima é que aparece duas vezes o dois e daí você não coloca ele novamente. O que você tem que fazer é o mínimo multiplo comum entre os denominadores que são diferentes, por exemplo, em

ant_dii escreveu: $\frac{18x}{3x + 1} - \frac{6}{2x+1} - \frac{1}{x - 2} =0$

todos os denominadores são diferentes e por isso tem que ser multiplicados.

No caso do exercício acima poderá ser feito o seguinte, e acho que isso já lhe esclarecerá a questão:
$\frac{x + 2}{2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{2} =0 \Rightarrow \frac{x + 2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{x - 2}=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{(x + 2) + 1}{2} + \frac{2}{x - 2}=0 \Rightarrow \frac{(x +3)(x-2) +2\cdot 2}{2\cdot(x - 2)}=0$ ...

Numa relação de mínimo como essa
$\frac{A}{X}+\frac{B}{Y}+\frac{C}{Z}$
deve-se fazer como se estivesse encontrado o mínimo entre eles, ou seja,
$\frac{A}{X}+\frac{B}{Y}+\frac{C}{Z} \Rightarrow \frac{AYZ}{XYZ}+\frac{BXZ}{YXZ}+\frac{CXY}{ZXY} \Rightarrow \frac{AYZ+BXZ+CXY}{XYZ}$

Já se for como esta
$\frac{A}{X}+\frac{B}{X}+\frac{C}{Y}$
deve-se fazer
$\frac{A}{X}+\frac{B}{X}+\frac{C}{Y} \Rightarrow \frac{AY}{XY}+\frac{BY}{XY}+\frac{CX}{YX} \Rightarrow \frac{AY+BY+CX}{XY}$ ...

E foi isso que aconteceu no seu exemplo...