inequacoes urgente

por **pipinha1982** » Ter Jan 10, 2012 18:17

boa noite gostria que me ajudasem a resolver
1.
Resolva as seguintes inequac~oes:
a)
|2-3x|<|x-3|
b)
|x-2|<=|x|-2
c)
|x-2|<|x|+2

por **ant_dii** » Qua Jan 11, 2012 02:48

Vou deixar a dica... Tente e depois em caso de dúvidas corra novamente ao fórum...

Sempre que |A|<B

, teremos que -B<A<B

(valendo isso caso seja $\leq$ ), contando que

e

são números reais.

Obs.: mas veja que se fosse

ou $\geq$ a relação seria outra. Qual?

No seu caso |A|<|B|

, então

e daí você terá que estudar cada caso separado, ou seja, -|B|<A

e

e, por fim, fazer as devidas interseções dos conjuntos que satisfazem as relações.

Há também o caso |A|<|B| + C

(

um número real), onde deverá ser feito -(|B|+C)<A<(|B|+C)

.

O resto é somente um pouco de esforço com a manipulação algébrica e interpretação dos conjuntos que satisfazem cada relação.

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 10:38

entao mas nao tenho de elevar cada modulo ao quadrado? :( nao pesco nada disto se me poder ajudar

por **gicapo** » Qua Jan 11, 2012 11:57

pipinha1982 escreveu:entao mas nao tenho de elevar cada modulo ao quadrado? :( nao pesco nada disto se me poder ajudar

Pipinha vê o tópico Inequações e a alinea a) está lá resolvida
tenta depois a alinea b) e a C) que eu tb preciso.
GICAPO

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 14:53

oi gicago tens messenger?

por **gicapo** » Qua Jan 11, 2012 14:57

pipinha1982 escreveu:oi gicago tens messenger?

Sim gicapo@hotmail.com

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 14:58

ja te adicionei

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 14:59

ja te adicionei

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 15:05

gicago estas online no messenger?

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 15:23

boa tarde ant_dii
sera que me podia ajudar na resolucao das inequacoes
?
obrigado

por **ant_dii** » Qua Jan 11, 2012 15:38

Sim posso sim, inclusive acabei de resolver a primeira...
Mas agora tenho que ir trabalhar, assim que voltar eu mostro como se faz.
Caso queira tentar, o resultado da primeira, ou seja, o conjunto que satisfaz a primeira inequação é

$\{x \in \Re; \frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4}\}$

onde $\Re$ é o conjunto dos números reais

Prometo que volto depois...

por **pipinha1982** » Qua Jan 11, 2012 19:04

boa noite
preciso urgentemente de ajuda tenho 3 exercicios aos qauis nao consigo resolver alguem me pode ajudar

por **ant_dii** » Qui Jan 12, 2012 00:55

Agora vamos lá...

Para a letra a teremos

$|2-3x|<|x-3|\Rightarrow -|x-3|<2-3x<|x-3|$

Agora façamos cada caso particularmente. Primeiro

$-|x-3|<2-3x \Rightarrow |x-3|>3x-2 \Rightarrow \\ \Rightarrow \left \{\begin{array}{rclc} x-3 & > & 3x-2 &(1)\\ -(x-3) & > & 3x-2 &(2)\\ \end{array}\right$

De (1), temos que:
$x-3>3x-2 \Rightarrow x-3x>-2+3 \Rightarrow -2x>1 \Rightarrow 2x<-1 \Rightarrow x<\frac{-1}{2}$

De (2), temos que:
$-(x-3)>3x-2 \Rightarrow x-3<2-3x \Rightarrow x+3x<2+3 \Rightarrow 4x<5 \Rightarrow x<\frac{5}{4}$

Assim temos que -|x-3|<2-3x

se $x<\frac{-1}{2}$ ou $x<\frac{5}{4}$ , ou seja, se $x<\frac{5}{4}$ .

Por outro lado, temos que 2-3x<|x-3|

:

$2-3x<|x-3| \Rightarrow |x-3|>2-3x \Rightarrow \\ \Rightarrow \left \{\begin{array}{rclc} x-3 & > & 2-3x &(3)\\ -(x-3) & > & 2-3x &(4)\\ \end{array}\right$

De (3), temos que:
$x-3>2-3x \Rightarrow x+3x>2+3 \Rightarrow 4x>5 \Rightarrow x>\frac{5}{4}$

De (4), teremos
$-(x-3)>2-3x \Rightarrow x-3<3x-2 \Rightarrow x-3x<-2+3 \Rightarrow -2x<1 \Rightarrow 2x>-1 \Rightarrow x>\frac{-1}{2}$

Logo, 2-3x<|x-3|

se $x>\frac{5}{4}$ ou $x>\frac{-1}{2}$ , ou seja, se $x>\frac{-1}{2}$ .

Portanto, |2-3x|<|x-3|

se $x<\frac{5}{4}$ e $x>\frac{-1}{2}$ , ou seja, se $\frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4}$ .

por **ant_dii** » Qui Jan 12, 2012 02:37

Outro modo é fazendo:
$\sqrt{(2-3x)^2}<\sqrt{(x-3)^2} \Rightarrow (2-3x)^2<(x-3)^2 \Rightarrow \\ \Rightarrow 4-12x+9x^2<x^2-6x+9 \Rightarrow 9x^2-12x<x^2-6x+5\Rightarrow 8x^2-6x-5 <0$

A equação 8x^2-6x-5=0

possui raízes em $x=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$ e em $x=\frac{-8}{16}=\frac{-1}{2}$ (encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara).

Logo,
$8x^2-6x-5<0 \Rightarrow \left( x-\frac{5}{4}\right)\left( x+\frac{1}{2}\right)<0$ .

Mas isso implica que

$\left( x-\frac{5}{4}\right)<0$ (1) e $\left( x+\frac{1}{2}\right)>0$ (2)

ou

$\left( x-\frac{5}{4}\right)>0$ (3) e $\left( x+\frac{1}{2}\right)<0$ (4).

De (1), $x<\frac{5}{4}$

De (2), $x>\frac{-1}{2}$

Então, $\frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4}$

De (3), $x>\frac{5}{4}$

De (4), $x<\frac{-1}{2}$

Então, não haverá interesecção, ou seja, nos intervalos $x>\frac{5}{4}$ e $x<\frac{-1}{2}$ , a inequação 8x^2-6x-5<0

será falsa.

Portanto a solução estará no intervalo (conjunto)

$\frac{-1}{2}<x<\frac{5}{4}$ ...

De toda forma enfatizo que o método utilizado na primeira vez (vez anterior) é mais garantido, porém mais trabalhoso...

Esta solução é mais rápida e poderá ser usada no problemas da letra c, como segue abaixo:

Observando, na letra c, que $|x-2|< |x|+2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2}< \sqrt{(x)^2}+2$

poderemos fazer o seguinte (atenção nos passos)

$\sqrt{(x-2)^2}< \sqrt{(x)^2}+2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2}< x+2 \Rightarrow (x-2)^2<(x+2)^2 \Rightarrow x^2-4x+4<x^2+4x+4 \Rightarrow -4x<4x \Rightarrow -8x<0 \Rightarrow 8x>0 \Rightarrow x>0$

Portanto, |x-2|<|x|+2

se

.

Já para b, tentei o processo e acontece o seguinte:

$|x-2|\leq |x|- 2 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2} \leq \sqrt{(x)^2}-2$

fazendo, como antes,
$(x-2)^2 \leq (\sqrt{(x)^2}-2)^2 \Rightarrow (x-2)^2 \leq (x-2)^2 \Rightarrow x-2 \leq x-2$

o que é verdadeiro para qualquer

real.
Mas como estamos trabalhando com módulo teremos que $x-2 \geq 0$ sempre, ou seja, $x \geq 2$ .
Em caso de dúvida, basta observar que $\sqrt{(x-2)^2}$ não pode ser negativo. Assim sendo $\sqrt{(x)^2}-2 \geq 0 \Rightarrow x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$

Se praticar bastante o outro método, ele lhe cairá melhor do que o método de elevar ao quadrado. Este último pode te levar a entendimentos errôneos..

Espero ter ajudado...